Геометрія

Креслення, боковий вигляд і план служать для двовимірного зображення тривимірного об’єкта за допомогою прямокутного проєктування. Кожен із них відображає вигляд на об’єкт з різного напрямку:

• Креслення — це вигляд з тильної сторони.
• Боковий вигляд — це вигляд з бічної сторони.
• План — це вигляд згори.

Варіанти розгорток куба налічують 11 різних способів:

Розгортки геометричних тіл – це плоске зображення, з якого можна скласти бічну поверхню геометричного тіла. Приклади розгорток:

Зазвичай розгортку геометричного тіла можна намалювати багатьма різними способами. Розгортку куба можна намалювати так:

На відміну від повсякденної мови, де слова здебільшого мають кілька значень, у математиці ми використовуємо поняття з чітко визначеним значенням. Це дуже корисно, адже завдяки цьому ми можемо висловлюватися стисло і водночас однозначно. У геометрії використовується багато понять.

Теорема Піфагора описує співвідношення, яке існує між довжинами сторін прямокутного трикутника. Теорема має таке формулювання: у прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. Теорему Піфагора можна записати, як c^2 = a^2 + b^2, де c позначає довжину гіпотенузи прямокутного трикутника, а довжини катетів – a, b.

На рисунку графічно зображено формулювання теореми, а також ілюстрацію цієї теореми:

Pl Дійсне і зворотне твердження: якщо у трикутника довжини сторін a, b, c задовольняють рівність c^2 = a^2 + b^2, то це прямокутний трикутник з гіпотенузою c.

Теорема Піфагора дозволяє обчислити довжину третьої сторони прямокутного трикутника, якщо відомі довжини двох інших сторін:

• Довжина гіпотенузи c = \sqrt{a^2 + b^2}. Якщо у прямокутному трикутнику довжини катетів 3 метри і 6 метрів, то гіпотенуза має довжину \sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} \doteq 6{,}41 метра.

• Довжина катета a = \sqrt{c^2-b^2}. Якщо гіпотенуза трикутника має довжину 8 метрів, а один з катетів має довжину 4 метри, то другий катет має довжину \sqrt{8^2-4^2} = \sqrt{64-16} = \sqrt{48} \doteq 6{,}93 метра.

Піфагорові трійки – це три натуральних і цілих числа, які задовольняють рівність a^2+b^2=c^2, тобто трикутник з відповідними довжинами сторін є прямокутним. Типовим прикладом піфагорової трійки є (3, 4, 5): 3^2 + 4^2 = 9+16 = 25 = 5^2.

Інші приклади Піфагорових трійок: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). До Піфагорових трійок належать також усі кратні їм трійки, наприклад: (6, 8, 10); (9, 12, 15); (10, 24, 26). Якщо ми запам’ятаємо деякі основні Піфагорові трійки, особливо найпростішу трійку (3, 4, 5), це може дуже полегшити обчислення.

Теорема Піфагора має дуже широке застосування в геометрії, оскільки багато складних фігур можна розкласти на прямокутні трикутники.

Типовим прикладом застосування теореми Піфагора є обчислення довжини діагоналі квадрата або висоти рівностороннього трикутника:

У квадраті з ребром a діагональ утворює гіпотенузу прямокутного трикутника з катетами довжиною a. Тому для довжини діагоналі u – u^2 = a^2 + a^2. Після скорочення: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Так, наприклад, квадрат зі стороною 10 см має діагональ довжиною 10\cdot \sqrt{2} \doteq 14,1 см.

У рівносторонньому трикутнику зі стороною a висота є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетом довжиною a і гіпотенузою довжиною \frac{a}{2}. Отже, для довжини висоти v – v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Після скорочення отримаємо v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}. Так, наприклад, у рівносторонньому трикутнику зі сторонами 5 метрів висота дорівнює \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5 \doteq 4,33 метра.

Прямокутник належить до чотирикутників. Це власне паралелограм, який має всі внутрішні кути прямі.

Квадрат є особливим випадком прямокутника, який має всі сторони однакової довжини.

Паралелограм — це чотирикутник, протилежні сторони якого є паралельними.

Спеціальні випадки паралелограма:

• Ромб має всі сторони однакової довжини.
• Прямокутник має внутрішні кути прямими.
• Квадрат має внутрішні кути прямими й усі сторони однакової довжини.

Трапеція є чотирикутником, у якого дві протилежні сторони є паралельними (називаємо їх основами), а інші дві протилежні сторони є непаралельними.

Прямокутна трапеція має два прямі внутрішні кути (основи трапеції є паралельними, якщо один внутрішній кут прямий, то його доповнення до 180^{\circ} при другій основі – також прямий кут).

Рівнобічна трапеція має рівні бічні сторони.

Коло з даним центром S і радіусом r складається з усіх точок на площині, які знаходяться від центра на відстані рівно r. Для кожної точки на площині можна визначити, де вона знаходиться:

• на колі (їхня відстань від S дорівнює r)
• у внутрішній області кола (їхня відстань від S менша за r, ці точки не лежать на колі)
• у зовнішній області кола (їхня відстань від S більша за r, ці точки також не лежать на колі)

Круг з даним центром S і радіусом r складається з усіх точок на площині, які знаходяться від центра на відстані не більше r. Круг з даним центром і радіусом є об’єднанням кола з тим же центром і радіусом та його внутрішньою областю. Центр S круга є точкою, яка належить кругу. (Тоді як центр кола не лежить на колі, а в його внутрішній області.)

Куб і прямокутний паралелепіпед (або просто паралелепіпед) — це об’ємні геометричні фігури, які належать до многогранників, а точніше є окремими випадками призм.

Куб – це об’ємна фігура, яка має шість граней, кожна з яких є квадратом. Усі ребра куба мають однакову довжину, а всі внутрішні кути є прямими, тобто їхній розмір становить 90°. Приклади куба у повсякденному житті: цукрові кубики та кубик Рубіка.

Для обчислення об’єму куба використовується формула V = a^3, де a – довжина ребра куба.

Площа поверхні куба з довжиною ребра a обчислюється за формулою S = 6a^2.

Прямокутний паралелепіпед також є призмою, але на відміну від куба, його грані мають форму прямокутників. Прямокутний паралелепіпед має три елементи: ширину, довжину і висоту, які не обов’язково мають бути однаковими, як у випадку з кубом. Прямокутний паралелепіпед має шість граней, кожна з яких є прямокутником або квадратом. Якщо всі грані мають форму квадратів, то це куб.

Приклади прямокутного паралелепіпеда у повсякденному житті це, наприклад, коробки, книги або цеглини.

Об’єм прямокутного паралелепіпеда обчислюється за формулою V = a \cdot b \cdot c, де a,b,c – розміри паралелепіпеда.

Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда обчислюється як сума площ усіх його шести прямокутних граней S = 2(ab + bc + ac). Пари протилежних граней є однаковими прямокутниками, тому їхні площі рівні.

Куля — це просторовий геометричний об’єкт, який має форму досконало круглого тіла. Всі точки на поверхні кулі знаходяться на однаковій відстані від центра, ця відстань називається радіусом кулі. Куля є симетричною в усіх напрямках, що означає, що незалежно від того, як її обертати, її форма залишається незмінною.

Приклади кулі у повсякденному житті можуть бути такі: баскетбольний м’яч, земна куля, кулька з підшипника.

Для обчислення об’єму кулі використовуємо формулу V = \frac{4}{3} \pi r^3, де r – це радіус кулі.

Площу поверхні кулі можна обчислити за формулою S = 4 \pi r^2, де знову ж таки r означає радіус кулі.

Куля не має кутів і ребер, що відрізняє її від багатьох інших геометричних фігур. Ця унікальна властивість надає кулі важливу роль у різних галузях, включаючи фізику, де її використовують, наприклад, для моделювання ідеальних тіл у теорії гравітації. Предметом вивчення в неевклідовій геометрії можуть бути фігури, які не є частиною площини, а частиною сферичної поверхні (тоді мова йде про сферичну геометрію, або геометрію на сфері).

Периметр трикутника обчислюється, як сума довжин його сторін: o=a+b+c

Приклад:

Трикутник на малюнку має довжини сторін a=10, b=8, c=14, отже його периметр дорівнює o=a+b+c=10+8+14=32.

Периметр квадрата зі стороною, довжина якої a, обчислюється як o=a+ a+a+a= 4a.

Периметр прямокутника зі сторонами, довжини яких a,b, дорівнює o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Периметр ромба зі сторонами довжини a,b обчислюється, як S=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Периметр трапеції обчислюється, як сума довжин її сторін. Таким чином, периметр трапеції ABCD зі сторонами довжини a,b,c,d обчислюється за формулою o=a+b+c+d.

Формула для периметра кола

Периметра кола (або круга) з радіусом r обчислюється за формулою o=2\pi r. Для діаметра d є дійсним o = \pi d.

Константа \pi також відома як число Людольфа. \pi є ірраціональним числом, що означає, що його неможливо виразити у вигляді простого дробу або записати точно в десятковій системі. Приблизне значення \pi становить 3,141 592 65.

При обчисленні периметра кола важливо уникати плутанини між радіусом і діаметром, що часто спричиняє помилки.

Інтуїція

Інтуїцію в контексті периметра кола можна розглянути на рисунку нижче. Периметр оранжевого квадрата дорівнює 8\cdot r. Периметр кола є “трохи меншим” – приблизно 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r.

Приклади

• Нехай коло має радіус 3 см. Його периметр становить 2\pi \cdot 3 \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \approx 18{,}8 cm.
• Круг з діаметром 2 см має довжину \pi \cdot 2 \approx 6,3 см.
• Центральне коло на футбольному полі має радіус 9{,}1 метра. Щоб обійти його по зовнішньому краю, потрібно пройти 2 \pi \cdot 9{,}1 \approx 57 метрів.

Довжина дуги

Довжину дуги, яка на колі з радіусом r відповідає центральному куту \alpha, обчислюємо за формулою: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot r

Приклади

• Довжина дуги на рисунку дорівнює: \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{1}{4} \cdot 6 \pi = \frac{3}{2}\pi

• Довжина всього кола (тобто для повного кута 360^{\circ}) дорівнює: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot r

Периметр у трикутників і чотирикутників — це просто сума довжин їхніх сторін.

Площа квадрата зі стороною довжиною a дорівнює S=a\cdot a=a^2.

Площа прямокутника зі сторонами довжинами a,b дорівнює S=a\cdot b.

Формула для обчислення площі кола

Площа кола з радіусом r дорівнює S=\pi r^2. Для діаметра d маємо S = \frac{1}{4} \pi d^2.

Константа \pi також називається числом Людвіга. \pi є ірраціональним числом, що означає, що його неможливо виразити дробом або точно записати в десятковій системі. Приблизне значення \pi дорівнює 3,141 592 65.

Під час обчислення площі кола слід бути уважним, чи використовуємо ми радіус, чи діаметр. Плутанина між діаметром і радіусом є частою помилкою.

Інтуїція

Основні навички інтуїції для обчислення площі кола ілюструє наведений нижче малюнок. Жовті квадрати мають площу r^2. Помаранчевий квадрат складається з чотирьох жовтих квадратів, тому його площа 4\cdot r^2. Коло має “трохи меншу” площу, ніж помаранчевий квадрат, що відповідає тому, що площа кола приблизно дорівнює 3{,}14 \cdot r^2.

Приклади

• Нехай маємо коло з радіусом 3 см. Його площа дорівнює \pi \cdot 3^2 \approx 3{,}14\cdot 9 \approx 28,3 см².
• Розглянемо коло з діаметром 2 см. Його внутрішня область має площу \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi \approx 3,14 см².
• Центральне коло на футбольному полі має радіус 9{,}1 метра. Якщо б ми хотіли пофарбувати всю траву в колі в рожевий колір, нам би потрібно було пофарбувати \pi \cdot 9{,}1^2 \approx 260 м² трави.

Площа сектора

Площу сектора з центральним кутом \alpha і радіусом r обчислюємо за формулою: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2

Приклади

• Сектор на малюнку має площу: \frac{150^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot 3^2 = \frac{5}{12} \cdot \pi \cdot 9 = \frac{15}{4} \pi

• Площа цілого кола (сектора з центральним кутом 360^{\circ}) дорівнює: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot r^2

Об’єм тіла виражає, скільки місця у просторі займає тіло. Можемо уявити його як кількість води, яка знадобиться, щоб “наповнити” тіло. Для вираження об’єму використовуємо одиниці об’єму.

Площа поверхні тіла — це сума площ усіх поверхонь, які обмежують тіло. Можемо уявити її як розмір кольорового паперу, який потрібен для “обклеювання” тіла. Для вираження поверхні використовуємо одиниці площі.

Позначення у формулах

Формули

Об’єм прямокутного паралелепіпеда з довжинами ребер a,b,c обчислюємо за формулою: V=a\cdot b\cdot c

Об’єм куба з довжиною ребра основи a обчислюється так само, як об’єм прямокутного паралелепіпеда з a=b=c, тобто: V=a\cdot a\cdot a=a^3

Об’єм кулі з радіусом r обчислюємо за формулою: V=\frac{4}{3} \pi \cdot r^3

Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда з довжинами ребер a,b,c обчислюється, як сума площ всіх його граней. Тобто: S=2 (a\cdot b + a\cdot c + b \cdot c)

Площа поверхні куба з довжиною ребра основи a обчислюється так само, як поверхня прямокутного паралелепіпеда з a=b=c, тобто площа однієї квадратної грані куба, помножена шість разів: S = 6\cdot a\cdot a = 6a^2

Площа поверхні призми, яка має основу з площею S_p, бічну поверхню з площею S_{pl}, обчислюється, як S=2S_p + S_{pl}. Бічна поверхня призми складається з усіх її граней, крім двох основ.

Площа поверхні правильної n‑ кутної призми, яка має дві основи у формі правильних n‑ кутників і n однакових прямокутних граней (площу однієї позначимо як S_1), обчислюється так: S=2S_p + n\cdot S_1

Площа поверхні піраміди обчислюється, як сума площі її основи S_p і площі її бічної поверхні S_{pl}. Площу бічної поверхні обчислюємо, як суму площ граней піраміди, які утворюють бічну поверхню (тобто всі грані піраміди, крім її основи).

Площа поверхні n‑кутної піраміди, яка має основу у формі правильного n‑кутника і n однакових трикутних граней (площу однієї позначимо S_1), обчислюється так: S= S_p + n\cdot S_1

Поверхня кулі з радіусом r обчислюється так: S=4 \pi \cdot r^2

Кут – це частина площини, обмежена двома напівпрямими. Розмір кута зазвичай вимірюється у градусах, при цьому повний кут має розмір 360°. Кути широко використовуються в геометрії та мають важливе практичне застосування у фізиці, навігації та у будь-якому місці, де потрібно щось будувати.

При роботі з кутами перший основний крок – це розпізнавання кутів: нам потрібно отримати базове уявлення про кути та здатність оцінювати їх розмір за рисунком. Наступним кроком є знання термінів, що стосуються кутів, серед яких, наприклад: гострий, тупий, прямий, повний або вершинний кут.

Для отримання вправності в роботі з кутами може бути корисною цікава вправа Графіка черепахи на Знаємо інформатику.

Після освоєння основ роботи з кутами ми можемо перейти до роботи з кутами у плоских об’єктах:

• Кути у трикутнику
• Кути в чотирикутнику
• Кути у багатокутниках
• Кути і коло

Центральний кут

• Кут з вершиною в центрі S кола k, сторони якого проходять через крайні точки A, B дуги кола k.
• Для будь-яких двох точок на колі можна визначити два центральні кути. Кожен з них відповідає тій дузі, яка лежить у цьому куті.

Вписаний кут

• Кут, вершина V якого лежить на колі k, а сторони проходять через точки A та B дуги кола k (A \neq V \neq B)
• Усі вписані кути, що відповідають дузі AB з вершиною V, яка не лежить на дузі, мають однакову величину.
• Величина центрального кута \omega дорівнює подвійному значенню вписаного кута \varphi що відповідає тій самій дузі, \omega = 2\cdot\varphi.
• Теорема Фалеса: Вписаний кут, побудований на діаметрі кола, є прямим.

Січний кут

• Кут, який утворюється хордою AB кола k з дотичною t до кола в точці A або B.
• Величина січного кута дорівнює величині вписаного кута над дугою AB.

Також ми використовуємо для запису геометричних конструкцій операції над множинами, зокрема перетин (\cap) та об’єднання (\cup).

Паралельні прямі – це дві прямі, що лежать в одній площині й ніколи не перетинаються. Паралельність прямих p та q записуємо, як p \parallel q.

Перпендикулярні прямі – це прямі, які перетинаються під кутом 90°. Перпендикулярність прямих p та q записуємо, як p \perp q.

Дві прямі, які є перпендикулярними до деякої третьої прямої та одночасно лежать в одній площині, є паралельними.

При вирішенні складніших конструкційних задач ми будемо використовувати також множини точок з певними властивостями. Пригадаймо найважливіші з них.

Основні властивості геометричних трансформацій:

• Осьова симетрія: відображаємо “дзеркальне” зображення фігури відносно прямої.
• Центральна симетрія: відтворюємо фігуру відносно точки.
• Обертання: обертаємо фігуру навколо заданої точки на певний кут.
• Тотожність: дві фігури є тотожними, якщо вони мають однаковий розмір і форму (можуть відрізнятися поворотом та розташуванням).
• Подібність: дві фігури подібні, якщо вони мають однакову форму (можуть відрізнятися розміром, поворотом і розташуванням).

Тема визначення відображень у площині розглядає розрізнення між різними видами відображень.

Осьова симетрія визначається прямою o і приписує кожній точці X поза віссю таку точку X', що пряма o є віссю відрізка XX'. Іншими словами: відображення має однакову відстань від осі, як і початкова точка, і відрізок, що з’єднує точки, перпендикулярний до осі. Осьова симетрія зберігає відстані та кути, тому є видом конгруенції.

Приклади

Сині та помаранчеві фігури є взаємно осесиметричними відносно осі o:

Для кращого розуміння може бути корисно порівняти осьову симетрію та центральну симетрію.

Осесиметрична фігура

Фігуру називаємо осесиметричною, якщо в деякій осьовій симетрії вона є відображенням самої себе. Вісь цієї симетрії називаємо віссю фігури. На рисунку наведено приклади осесиметричних фігур (зелені, з позначеними осями симетрії) і несиметричних (червоні):

Інші приклади:

• Відрізок є осесиметричним і має у площині єдину вісь симетрії (перпендикуляр у його центрі).
• Рівнобедрений трикутник є осесиметричним.
• Трикутник, який не є рівнобедреним, не є осесиметричним.
• Усі правильні багатокутники є осесиметричними. Кількість осей симетрії дорівнює кількості вершин багатокутника.
• Коло є осесиметричним і має нескінченно багато осей симетрії.

Центральна симетрія визначається точкою S і приписує кожній точці X таку точку X', що точка S є центром відрізка XX'. Іншими словами, відображення має таку саму відстань від центра, як і початкова точка, і лежить на промені, протилежному до SX.

Центральна симетрія зберігає відстані та кути, отже, є видом конгруенції. Центральна симетрія з центром у точці S є тотожною обертанню на 180 градусів навколо центру S.

Приклади

Сині та оранжеві фігури є взаємно центрально симетричними відносно центра S:

Для кращого розуміння може бути корисно порівняти центральну та осьову симетрію.

Центрально симетрична фігура

Фігуру називають центрально симетричною, якщо в деякій центральній симетрії вона є відображенням самої себе. Центр цієї симетрії називається центром симетрії об’єкта. На рисунку подано приклади центрально симетричних фігур (зелені, з позначеним центром симетрії) та несиметричних (червоні):

Інші приклади:

• Відрізок, прямокутник, квадрат, ромб, правильний шестикутник і коло є центрально симетричними.

• Жоден трикутник не є центрально симетричним.

Дві геометричні фігури є подібними, якщо вони мають однакову форму (незалежно від розміру). На рисунку нижче подібні фігури мають однаковий колір:

Точніше кажучи, фігури є подібними, якщо одну можна отримати з іншої за допомогою рівномірного зменшення або збільшення, а також зсуву, обертання або відображення.

Подібність зберігає величини кутів та співвідношення довжин.

Співвідношення довжин відповідних відрізків у обох фігурах називається коефіцієнт подібності.

Аналітична геометрія дозволяє нам алгебраїчно записувати геометричні задачі та вирішувати їх за допомогою рівнянь.

Найпростіші об’єкти, які можна описати аналітично, – це точки, відрізки і вектори у площині або у просторі. Коли ми вже вміємо використовувати вектори, ми можемо використовувати їх для опису прямих чи площин.

У випадку прямих і площин ми все ще маємо справу з об’єктами, які можна описати лінійними рівняннями або системами лінійних рівнянь. Якщо ми розглядаємо квадратичні рівняння, ми можемо описати також конічні перетини у площині. Наприклад, таких, як коло, еліпс, парабола або гіпербола.

Два важливі типи задач, які ми вирішуємо у межах аналітичної геометрії – це задачі про взаємне розташування геометричних фігур і метричні задачі, де ми обчислюємо конкретне числове значення величин. Наприклад, відстань між двома точками або кут, утворений двома прямими, що перетинаються.

Якщо розглядати точки у площині або у просторі, де встановлено декартову систему координат (у площині з двома осями x,y або у просторі з трьома осями x,y,z), ми можемо чисельно описати точки координатами у площині або координатами у просторі.

За допомогою координат ми можемо обчислити відстань між двома точками “по прямій”, тобто довжину відрізка у площині або й у просторі.

Координати точок зазвичай записуються за допомогою декартової системи координат у площині, яка має дві перпендикулярні прямі осі. Горизонтальна пряма традиційно позначається x, і координати вздовж цієї осі записуються першими. Вертикальна пряма традиційно позначається y, і координати вздовж цієї осі записуються другими. Прямі x і y перетинаються в точці [0;0].

Прямі x та y є координатними осями, точка [0;0] є початком системи координат.

Приклад: координати точки A

Точка A на рисунку в даній системі координат визначається, як x=1, y=2, що можна записати, як A[1;2].

Інші приклади координат точок

Декартова система координат у площині визначається трійкою взаємно перпендикулярних числових осей x,y,z, які перетинаються в точці [0;0;0].

Прямі x,y,z є координатними осями у просторі, точка [0;0;0] є початком системи координат.

Приклад: координати точки A

Точка A на рисунку в даній системі координат визначається, як x=4, y=2, z=3, що можна записати, як A[4;2;3].

Довжину відрізка на площині обчислюємо так само, як відстань між точками на площині.

Якщо задані координати A[x_A; y_A], B[x_B; y_B], довжина відрізка AB дорівнює:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Формула базується на теоремі Піфагора.

Довжину відрізка у просторі обчислюємо так само, як відстань між точками у просторі.

Якщо задано координати A[x_A; y_A;z_A], B[x_B; y_B;z_B], довжина відрізка AB дорівнює:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Векторний простір – це множина всіх однаково орієнтованих відрізків, які мають однакову довжину. Кожен з цих відрізків називається розміщенням вектора.

Вектор визначається початковою і кінцевою точкою, графічно зображується стрілкою, що вказує на кінцеву точку, і записується так: \vec{u}=\overrightarrow{AB}

На рисунку точка A – початкова точка вектора \vec{u}, а точка B – кінцева точка вектора \vec{u}.

Пряма лінія однозначно визначається точкою, яка на ній лежить, і напрямним вектором. Їх можна попрактикувати в розділі Визначення прямої.

У площині й у просторі пряму можна записати, як множину точок, які задовольняють параметричне рівняння. У площині також можемо записати пряму за допомогою загального рівняння (але у просторі — ні).

Маючи пряму, описану рівнянням, можемо визначити взаємне розташування двох прямих або взаємне розташування прямої та точки за допомогою обчислень.

Пряма зазвичай визначається точкою і вектором або двома точками.

Пряма p на рисунку може бути визначена, наприклад:

• точкою A=[1;2], яка на ній лежить, і напрямковим вектором \vec{u}=(1;-2)
• або двома різними точками [1;2] тa [2;0], які на ній лежать

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд: ax+by+c=0, де константи a та b є координатами нормалі, а c − дійсне число. Нормаль \vec{n}=(a;b) є вектором, перпендикулярним до даної прямої, а отже, і до вектора прямої.

У задачах на розташування аналізуємо аналітично взаємне розташування геометричних фігур у площині. Найчастіше мова йде про взаємне положення двох прямих або про взаємне положення прямої і точки.

У метричних задачах з аналітичної геометрії завданням зазвичай є обчислення конкретного числового значення величин, таких як:

– відстань між двома об’єктами, наприклад, відстань від точки до прямої,

– кутове відхилення двох прямих у площині.

Пряма однозначно визначається точкою та двома векторами, які не є колінеарними. На малюнку площина \alpha визначена точкою A та векторами \vec{u}, \vec{v}. Кожен вектор, який є перпендикулярним до площини \alpha називається нормаллю площини \alpha. На рисунку зображено нормаль \vec{n}.

Параметричні рівняння площини

Площина, визначена точкою A=[a_1;a_2;a_3] та векторами \vec{u}=(u_1;u_2;u_3) та \vec{v}=(v_1;v_2;v_3), має параметричні рівняння такого вигляду:

\begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\z&=&a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Скорочено можемо записати \alpha:X=A+t\vec{u}+s\vec{v}, де t, s називаються параметрами.

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд ax+by+cz+d=0, де константи a, b, c є координатами нормалі, а d є дійсне число.

Точка та площина

Точка M=[m_1;m_2;m_3] лежить у площині, якщо її координати задовольняють рівняння площини.

• Якщо площина задана загальним рівнянням ax+by+cz+d=0, для координат точки, яка лежить на прямій, виконується рівність: a\cdot m_1+b\cdot m_2+c\cdot m_3+d=0
• Якщо площина задана параметрично, то після підстановки координат точки у параметричні рівняння отримуємо систему трьох рівнянь з двома невідомими t, s, яка має єдине розв’язання (пару дійсних чисел).

Дві паралельні площини

Нормалі двох паралельних площин \alpha: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 a \beta: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 є колінеарними, тобто координати одного вектора є кратними координатам іншого вектора. Для констант у загальних рівняннях має виконуватися:

\begin{array}{rll}a_2&=&k\cdot a_1\\ b_2&=&k\cdot b_1\\c_2&=&k\cdot c_1\\&&k\in\mathbb{R}\end{array}

Якщо також виконується рівність d_2=k\cdot d_1, то площини є тотожними.

Загальне рівняння площини має вигляд ax+by+cz+d=0, де константи a, b, c є координатами нормалі, а d − дійсне число. Нормаль \vec{n}=(a;b;c) є вектором, перпендикулярним до даної площини.