Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд ax+by+cz+d=0, де константи a, b, c є координатами нормалі, а d − дійсне число. Нормаль \vec{n}=(a;b;c) є вектором, перпендикулярним до даної площини.

Загальне рівняння площини, заданої точкою та нормаллю

Знайдіть загальне рівняння площини \alpha, заданої точкою A=[-3;1;2] і нормаллю \vec{n}=(2;3;-4).

Координати нормалі є константами a, b, c у загальному рівнянні площини, тому загальне рівняння матиме вигляд: 2x+3y-4z+d=0
Константу d знаходимо, підставивши координати точки A=[-3;1;2] у загальне рівняння: 2\cdot(-3)+3\cdot1-4\cdot 2+d=0\Rightarrow -11+d=0\Rightarrow d=11
Загальне рівняння площини \alpha: 2x+3y-4z+11=0

Загальне рівняння площини, заданої точкою та паралельної до іншої площини

Знайдіть загальне рівняння площини \alpha, яка проходить через точку A=[2;3;1] і є паралельною до площини \beta:3x+y+4z+1=0.

Дві паралельні площини мають однакову нормаль, координати нормалі є координатами a, b, c у загальному рівнянні площини.
Тому загальне рівняння шуканої площини \alpha матиме вигляд: 3x+y+4z+d=0
Константу d знаходимо, підставивши координати точки A=[2;3;1] у загальне рівняння: 3\cdot2+3+4\cdot 1+d=0\Rightarrow 13+d=0\Rightarrow d=-13
Загальне рівняння площини \alpha це: 3x+y+4z-13=0