Площини: терміни

Пряма однозначно визначається точкою та двома векторами, які не є колінеарними. На малюнку площина $\alpha$ визначена точкою $A$ та векторами $\vec{u}$, $\vec{v}$. Кожен вектор, який є перпендикулярним до площини $\alpha$ називається нормаллю площини $\alpha$. На рисунку зображено нормаль $\vec{n}$.

Параметричні рівняння площини

Площина, визначена точкою $A=[a_1;a_2;a_3]$ та векторами $\vec{u}=(u_1;u_2;u_3)$ та $\vec{v}=(v_1;v_2;v_3)$, має параметричні рівняння такого вигляду:

$\begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\z&=&a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}$

Скорочено можемо записати $\alpha:X=A+t\vec{u}+s\vec{v}$, де $t, s$ називаються параметрами.

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд $ax+by+cz+d=0$, де константи $a$, $b$, $c$ є координатами нормалі, а $d$ є дійсне число.

Точка та площина

Точка $M=[m_1;m_2;m_3]$ лежить у площині, якщо її координати задовольняють рівняння площини.

• Якщо площина задана загальним рівнянням $ax+by+cz+d=0$, для координат точки, яка лежить на прямій, виконується рівність: $a\cdot m_1+b\cdot m_2+c\cdot m_3+d=0$
• Якщо площина задана параметрично, то після підстановки координат точки у параметричні рівняння отримуємо систему трьох рівнянь з двома невідомими $t, s$, яка має єдине розв’язання (пару дійсних чисел).

Дві паралельні площини

Нормалі двох паралельних площин $\alpha: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ a $\beta: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ є колінеарними, тобто координати одного вектора є кратними координатам іншого вектора. Для констант у загальних рівняннях має виконуватися:

$\begin{array}{rll}a_2&=&k\cdot a_1\\ b_2&=&k\cdot b_1\\c_2&=&k\cdot c_1\\&&k\in\mathbb{R}\end{array}$

Якщо також виконується рівність $d_2=k\cdot d_1$, то площини є тотожними.