Перелік коротких описів
Функція
« Повернутися до практикування
Підрозділи
- Властивості функцій
- Графіки лінійних функцій
- Графіки квадратичних функцій
- Графіки тригонометричних функцій
- Графіки показникової та логарифмічної функцій
- Лінійні функції
- Властивості лінійних функцій
- Квадратичні функції
- Властивості квадратичної функції
- Тригонометричні функції
- Тригонометричні функції та прямокутний трикутник
- Значення тригонометричних функцій
- Тригонометричні функції: співвідношення та формули
- Властивості тригонометричних функцій
Властивості функцій
Примітка: для спрощення опису розглядаємо лише функції, область визначення яких складається з усіх дійсних чисел.
Функція f називається парною, якщо для кожного x виконується f(-x) = f(x). Графік парної функції є симетричним відносно осі y. Приклади парних функцій: f_1(x) = x^2, f_2(x) = \cos(x), f_3(x) = x^4-3x^2+2.
Функція f називається непарною, якщо для кожного x виконується f(-x) = -f(x). Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат. Приклади непарних функцій: f_1(x) = 3x, f_2(x) = \sin(x), f_3(x) = x^3-2x.
Функція f називається періодичною, якщо існує число p != 0 (період функції) таке, що для кожного x виконується f(x+p)=f(x). Типовими прикладами періодичних функцій є тригонометричні функції. Натомість, наприклад, многочлени не є періодичними (за винятком постійної функції).
Функція f називається обмеженою знизу, якщо існує таке число k, що для кожного x виконується f(x) \geq k. Функція f називається обмеженою зверху, якщо існує таке число k, що для кожного x виконується f(x) \leq k. Функція f називається обмеженою, якщо вона одночасно обмежена зверху і знизу. Приклади:
- Функція f(x) = \sin(x) є обмеженою.
- Функція f(x) = x^2 є обмеженою знизу (оскільки \forall x: f(x) \geq 0), але не є обмеженою зверху.
- Функція f(x) = 2x не є обмеженою ні зверху, ні знизу.
Функція f називається простою, якщо для кожної пари x_1 \neq x_2 виконується f(x_1) \neq f(x_2).
Функція f називається зростаючою, якщо для кожної пари x_1 < x_2 виконується f(x_1) < f(x_2).
Функція f називається спадною, якщо для кожної пари x_1 > x_2 виконується f(x_1) > f(x_2).
ВгоруГрафіки лінійних функцій
Лінійну функцію завжди можна записати у вигляді f(x) = a\cdot x + b, де a та b є константами. Параметр a є коефіцієнтом нахилу (також називається кутовим коефіцієнтом), параметр b є вільним членом. Графіком лінійної функції є пряма, при цьому є дійсним:
- Вільний член b задає „вертикальне зміщення“. Це точка перетину прямої з віссю y. У наведених прикладах він позначений помаранчевим кольором.
- Коефіцієнт нахилу a задає нахил прямої, що можна виразити як „на скільки одиниць по осі y зміщується пряма за одну одиницю по осі x“. У наведених прикладах коефіцієнт нахилу позначений жовтим кольором.
Важливими є знаки (позначені на малюнках стрілками). Додатний вільний член означає зміщення вгору, від’ємний вільний член означає зміщення вниз. Додатний коефіцієнт нахилу означає зростаючу пряму, від’ємний коефіцієнт нахилу означає спадну пряму.
Графіки квадратичних функцій
Квадратичну функцію можна виразити у вигляді f(x) = ax^2 + bx + c, де a\neq 0. Графіком квадратичної функції є парабола. Цей графік зображує функцію 0{,}5 x^2 + x - 4:
Точки перетину з віссю x є розв’язками квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0. Для наведеного прикладу 0{,}5 x^2 + x - 4 цими розв’язками є x_1 = -4 a x_2 = 2.
Квадратичний коефіцієнт a впливає на основну форму параболи:
- Якщо a>0, «парабола спрямована вгору» (точніше: це функція, обмежена знизу, опукла).
- Якщо a<0, «парабола спрямована вниз» (точніше: це функція, обмежена згори, увігнута).
- Розмір квадратичного коефіцієнта a впливає на те, наскільки «широка» парабола.
Константний член c впливає на зміщення параболи – він вказує на точку перетину з віссю y.
Графіки тригонометричних функцій
Графіки основних тригонометричних функцій
Вплив змін функції на графік
На рисунку показано графіки кількох змін функції \sin(x).
| \sin(x+1) | графік має зміщену фазу (зсув у напрямку осі x) |
| \sin(x)+1 | графік зміщений у напрямку осі y |
| \sin(2x) | функція має змінену довжину періоду |
| 2\sin(x) | функція має змінену амплітуду |
Графіки показникової та логарифмічної функцій
Графіки експоненційних функцій
Графіком експоненційної функції є крива під назвою експонента. На рисунку показано графіки експоненційних функцій з основами 2 і e = 2{,}7 182 818 284\ldots Ми також бачимо, що графіки функцій e^x та e^{-x} є симетричними відносно осі y.
Ефект додавання константи до експоненційної функції
Ефект додавання константи до експонента
Ефект множення експоненційної функції на константу
Ефект множення експонента на константу
Графіки логарифмічних функцій
Логарифмічна функція є оберненою до експоненційної функції з тією самою основою. Графіки двох взаємно обернених функцій є симетричними відносно осі першого квадранта (прямої, що відповідає x=y).
На рисунку показано графіки логарифмічних функцій з різними основами 2, e, 10.
Позначення деяких визначних логарифмічних функцій:
| функція | опис | інші можливі позначення |
|---|---|---|
| \log_a x | загальний логарифм x з основою a для будь-якого a >0, a\neq 1 | |
| \ln x | натуральний логарифм x, тобто логарифм x з основою e | в англійських текстах іноді \log x |
| \log x | десятковий логарифм x, тобто логарифм x з основою 10 | \log_{10}x |
| \log_2 x | бінарний логарифм x, тобто логарифм x з основою 2 | іноді зустрічається \mathrm{lb}\;x |
Ефект додавання константи до логарифмічної функції
Ефект додавання константи до аргументу логарифмічної функції
Ефект множення логарифмічної функції на константу
Ефект множення аргументу логарифмічної функції на константу
Лінійні функції
Функція f є лінійною, якщо її можна виразити у вигляді f(x) = a\cdot x + b, де a і b є константами. Графіком лінійної функції є пряма. Параметр a є коефіцієнтом нахилу (також називається кутовим коефіцієнтом), параметр b визначає її вертикальне зміщення (також називається вільним членом).
Приклади лінійних функцій:
- f(x) = 2x
- f(x) = -4x+8
- f(x) = \frac13 x + 1{,2}
Щоб функція була лінійною, не обов’язково, щоб вона була записана безпосередньо у вигляді f(x) = a\cdot x + b. Достатньо, щоб її можна було привести до цього вигляду. Приклади:
- f(x) = 2-x можна переписати як f(x)= -1x + 2, що є лінійною функцією з коефіцієнтом нахилу -1 і вільним членом 2.
- f(x) = 5(3-x) можна переписати як f(x)= -5x + 15, що є лінійною функцією з коефіцієнтом нахилу -5 і вільним членом 15.
- f(x) = x^2 + 7 - x(x-1) на перший погляд виглядає як квадратична функція, але її можна привести до вигляду f(x)= x + 7 (квадратичний член зникає), тож це лінійна функція.
Властивості лінійних функцій
Функція f є лінійною, якщо її можна виразити у вигляді f(x) = a\cdot x + b, де a і b є константами. Область визначення лінійної функції — вся множина дійсних чисел.
Спеціальним випадком лінійної функції є стала. Вона має місце, коли a=0.
Якщо a \neq 0, то для лінійної функції є дійсним:
- є проста,
- не є обмеженою ні зверху, ні знизу,
- не має ні максимуму, ні мінімуму,
- не є періодичною,
- область значень — множина дійсних чисел.
Для a > 0 функція f зростаюча, для a < 0 функція f спадна.
Для b=0 функція f є непарною.
Графіком лінійної функції є пряма. Точка перетину графіка з віссю y знаходиться в точці (0, b). Точка перетину графіка з віссю x знаходиться в точці (-\frac{b}{a}, 0).
ВгоруКвадратичні функції
Функція є квадратичною, якщо її можна виразити у вигляді f(x) = ax^2 + bx + c, де a\neq 0. Функція є не лінійною квадратичною, якщо не має лінійного члена (тобто b=0). Графіком квадратної функції є парабола. Квадратна функція є особливим прикладом многочлена.
Приклади квадратних функцій:
- f(x) = x^2
- f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
- f(x) = -3x^2 + 2x -8
Властивості квадратичної функції
Функція є квадратичною, якщо її можна подати у вигляді f(x) = ax^2 + bx + c, де a\neq 0.
Область визначення квадратної функції — вся множина дійсних чисел.
Квадратична функція не має жодної з таких властивостей: ін’єктивність, періодичність, зростання, спадання.
Інші властивості залежать від того, чи є квадратний член додатнім чи від’ємним:
- Для a > 0 функція обмежена знизу, не обмежена зверху. У точці -\frac{b}{2a} має мінімум.
- Для a < 0 функція обмежена зверху, не обмежена знизу. У точці -\frac{b}{2a} має максимум.
Тригонометричні функції
Тригонометричні функції (або гоніометричні функції) — це група функцій, які пов’язують кут у прямокутному трикутнику з відношенням двох його сторін. Тригонометричні функції мають широке застосування в геометрії та багато практичних застосувань (наприклад, у навігації, небесній механіці чи геодезії). Тригонометричні функції пов’язані з багатьма галузями математики, не тільки з геометрією. Ми можемо зустріти їх, наприклад, у комплексних числах чи нескінченних рядах.
Основні тригонометричні функції — це синус, косинус та тангенс. Інші функції: секанс, косеканс та котангенс.
Обернені функції до тригонометричних функцій називаються циклометричними (як-от, арксинус, арктангенс).
ВгоруТригонометричні функції та прямокутний трикутник
Тригонометричні функції можна виразити у прямокутному трикутнику таким чином:
- Синус (\sin) кута \alpha − це відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи.
- Косинус (\cos) кута \alpha − це відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи.
- Тангенс (\tan) кута \alpha − це відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета.
Якщо пам’ятати визначні значення тригонометричних функцій (наприклад, \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}) або хоча б мати доступ до калькулятора чи математичних таблиць, тобто знати значення \sin, \cos або \tan якого-небудь кута у прямокутному трикутнику, то це означає знати розмір самого кута.
Приклад: знаємо сторони прямокутного трикутника, обчислюємо кути
Прямокутний трикутник ABC має довжини сторін a=24, b=10, c=26. Які розміри його внутрішніх кутів?
- Якщо трикутник прямокутний, то розмір кута \gamma навпроти найдовшої сторони c дорівнює 90^{\circ}.
- Ми знаємо, що \sin \alpha − це відношення протилежної сторони до гіпотенузи, тобто \sin \alpha=\frac{a}{c}.
- Підставимо відомі довжини сторін: \sin \alpha = \frac{24}{26}\doteq 0{,}923
- Відповідно, розмір кута це: \alpha \doteq 67^{\circ}
- Z \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ} обчислюємо, що \beta приблизно дорівнює 23^{\circ}.
Перевірка:
- Ми знаємо, що \cos \beta − це відношення прилеглої до кута \beta сторони до гіпотенузи, тобто \cos \beta = \frac{a}{c}.
- Підставимо відомі довжини сторін: \cos \beta = \frac{24}{26}\doteq 0{,}923
- Відповідний розмір кута: \beta \doteq 23^{\circ}
Приклад: знаємо кут, обчислюємо довжину сторони за допомогою \sin
Нехай маємо прямокутний трикутник ABC з прямим кутом у вершині C, в якому \sin \alpha = \frac{1}{2} і довжина гіпотенузи c=10. Яка довжина сторони a?
- Ми знаємо, що значення \sin \alpha обчислюється, як відношення довжини сторони, протилежної куту \alpha, до довжини гіпотенузи, тобто \sin \alpha = \frac{a}{c}.
- Підставимо в цю рівність за \sin \alpha і за c.
- \frac{1}{2} = \frac{a}{10} \Rightarrow a=5
- Довжина сторони a дорівнює 5.
Приклад: знаємо кут, обчислюємо довжину сторони за допомогою \cos
Нехай маємо прямокутний трикутник ABC з прямим кутом у вершині C, в якому \cos \alpha = \frac{3}{5} і довжина гіпотенузи c=15. Яка довжина сторони a?
- Ми знаємо, що значення \cos \alpha обчислюється, як відношення довжини сторони, прилеглої до кута \alpha, до довжини гіпотенузи, тобто \cos \alpha = \frac{b}{c}.
- Підставимо в цю рівність за \cos \alpha і за c.
- \frac{3}{5} = \frac{b}{15} \Rightarrow b=9
- Довжина сторони b дорівнює 9. Ми хотіли обчислити довжину сторони a, що можна зробити з відомих значень b,c за допомогою теореми Піфагора.
- a^2 = c^2-b^2=255-81=144 \Rightarrow a=12
- Довжина сторони a дорівнює 12.
Приклад: знаємо кут, обчислюємо довжину сторони за допомогою \tan
Нехай маємо прямокутний трикутник ABC з кутом \alpha = 60^{\circ} і довжиною більшого катета 6. Яка довжина іншого катета?
- Ми знаємо, що у прямокутному трикутнику ABC внутрішні кути 60^{\circ}, 90^{\circ}, обчислюємо відсутній кут.
- \beta=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}
- Ми бачимо, що \beta < \alpha.
- Більший катет буде у трикутнику навпроти більшого кута, отже, a=6.
- \tan \alpha − це відношення катета, протилежного куту \alpha до прилеглого катета, тобто \tan \alpha = \frac{a}{b}.
- Підставимо значення \tan \alpha, значення \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} (знаходимо в таблицях або за допомогою калькулятора), підставимо також b=6.
- \sqrt{3} = \frac{6}{b} \Rightarrow b= \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}
- Отже, довжина меншого катета b=2\sqrt{3}.
Значення тригонометричних функцій
Часто використовувані значення тригонометричних функцій ілюструє це зображення одиничного кола – x-ова координата точки відповідає значенню \cos даного кута, y-ова координата точки відповідає значенню \sin z даного кута.
Тригонометричні функції: співвідношення та формули
Для тригонометричних функцій існує велика кількість співвідношень та формул. Ось список основних:
Для від’ємних значень кутів
| \sin(-x) = -\sin(x) (непарна функція) |
| \cos(-x) = \cos(x) (парна функція) |
| \tan(-x) = -\tan(x) (непарна функція) |
Зсуви
| \sin(x+2\pi) = \sin(x) (період 2\pi) |
| \sin(x+\pi) = -\sin(x) |
| \sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos(x) |
Формули для суми аргументів тригонометричних функцій
| \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y) |
| \sin(x-y) = \sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y) |
| \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y) |
| \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y) |
Формули для суми значень тригонометричних функцій
| \sin(x)+sin(y) = 2 \sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) |
| \sin(x)-\sin(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) |
| \cos(x)+\cos(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) |
| \cos(x)-\cos(y) = -2 \sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) |
Подвійний аргумент
| \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) |
| \cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x) |
| \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} |
Властивості тригонометричних функцій
Для обох функцій \sin(x) та \cos(x) є дійсним:
- область визначення — множина дійсних чисел,
- область значень — інтервал \langle -1, 1 \rangle,
- функція є обмеженою,
- функція є періодичною з періодом 2\pi,
- функція не є ін’єктивною.
Для функції \sin(x) є дійсним:
- функція є непарною,
- нульових значень набуває в точках x=k\pi.
Для функції \cos(x) є дійсним:
- функція є парною,
- нульових значень набуває в точках x=(2k+1)\frac{\pi}{2}.
Для функції \tan(x) є дійсним:
- область визначення \{x \in \mathbb{R}: x \neq (2k+1)\frac{\pi}{2} \},
- область значень — множина дійсних чисел,
- функція є непарною,
- функція є періодичною з періодом \pi,
- функція є необмеженою,
- нульових значень набуває в точках x=k\pi.
