Елементарна алгебра

Елементарна алгебра розширює арифметику («лічба з числами», наприклад, 3+5\cdot8) на роботу з невідомими величинами (наприклад, x-4\cdot y). Ця область математики знаходить застосування не лише у багатьох інших розділах математики, але є важливою також для розуміння інших наук.

Відношення двох або більше додатних чисел — це співвідношення їхніх розмірів.

У вступних вправах ми ознайомимося з такими поняттями, як відношення у простому вигляді, послідовне відношення, обернене відношення та з’ясуємо, яка різниця між відношенням та дробом.

Найпростіше застосування відношення – це поділ числа на частини і зміна (зменшення або збільшення) числа у заданому відношенні. Далі йдуть більш складні обчислення з відношеннями, що включають текстові задачі, які ведуть до розв’язання рівнянь.

Масштаб карти – це спеціальний випадок відношення. З відношеннями також пов’язана тема подібність у геометрії.

Обчислення при відомій сумі (різниці)

Ми шукаємо два числа, коли знаємо їхнє відношення і знаємо їхню суму (або різницю, добуток чи інший вираз). У цьому випадку зазвичай допомагає спочатку обчислити, чому відповідає одна частина у співвідношенні. Зазвичай ми обчислюємо числа, які шукаємо, за тим, скільки частин у співвідношенні відповідає першому і другому числам.

Приклад: Співвідношення заряджених і розряджених батарейок у детекторі смурфиків становить 1:4. Розряджених батарейок на 6 більше, ніж заряджених. Скільки ж є всього заряджених і розряджених батарейок?

Спочатку давайте порахуємо, скільки батарейок відповідають одній частині. Ми знаємо, що розряджених батарейок на 6 більше, ніж заряджених. Розряджені батарейки утворюють 4 частини, а заряджені 1 частину. Таким чином, розряджених на 4-1=3 частини більше, ніж заряджених. Отже, 3 частини відповідають 6 батарейкам. Одна частина тоді це \frac{6}{3}=2 батарейки. У детекторі цілком є 2 заряджені батарейки та 4 \cdot 2 = 8 розряджених батарейок.

Результат: у детекторі цілком є 2 заряджені батарейки та 8 розряджених батарейок.

Обчислення за допомогою рівнянь

Якщо ми вже знайомі з розв’язуванням рівнянь, ми можемо при обчисленні використовувати два рівняння для двох невідомих.

• Перше рівняння ми складаємо з відомого співвідношення.
• Друге рівняння складаємо на основі інформації про значення суми (або різниці, добутку тощо).

Приклад (складніший приклад для тих, хто вже знає рівняння і довжину кола): Ми знаємо, що радіуси двох кіл відносяться як 2 : 5 і що сума їхніх довжин дорівнює 70 \pi. Якими є радіуси кіл?

Позначимо радіуси a і b та запишемо рівняння. Відомо відношення a : b = 2 : 5, тому маємо перше рівняння \frac{a}{b}=\frac{2}{5}. Сума довжин кіл з радіусами a,b дорівнює 2a\cdot \pi + 2b\cdot \pi. Ця сума нам відома, тому друге рівняння має вигляд 2(a+b)\cdot\pi = 70 \pi.

Розв’яжемо систему рівнянь. Помножимо перше рівняння на 5b (при b\neq 0) і отримаємо 5a=2b. Поділимо друге рівняння на додатне число 2\pi і отримаємо a+b=35. Виразимо a з другого рівняння та підставимо його у перше. 5\cdot(35-b)=2b. Спростимо й обчислимо b. 175= 7b, тому b=25. Обчислюємо другий радіус a=35-b=10.

Отримані радіуси кіл дорівнюють a=10,b=25.

Масштаб карти є спеціальним випадком співвідношення. Воно показує, наскільки зменшено зображення ландшафту на карті порівняно з реальним ландшафтом.

Приклади

• Карта з масштабом 1 : 10\,000. Сантиметр на цій карті відповідає 10\,000\ \text{см} = 100\ \text{м} у реальності.
• Креслення, на якому довжина п’ятиметрової статуї становить 2\ \text{см}, має масштаб 2 : (100\cdot 5) = 2 : 500 = 1 : 250.

Алгебраїчний вираз складається з констант (“числа”) та змінних (“літери”), які об’єднані за допомогою алгебраїчних операцій (наприклад, додавання, множення) та дужок. Змінна являє собою числа з певної області значень. За допомогою алгебраїчних виразів ми можемо проводити загальні обчислення.

Приклад:

• Фермер дядько Дмитро має на дворі p свиней і s курей.
• Вираз 4\cdot p + 2 \cdot s виражає загальну кількість ніг, які тварини мають на дворі.
• У цьому виразі числа 4 і 2 є константами, літери p і s є змінними, область значень яких – натуральні числа.
• Вираз можна переписати у вигляді 2(2p+s). Це перетворення зберігає значення виразу для будь-яких можливих значень змінних.

Основний крок при роботі з алгебраїчними виразами — підставляння значень за змінними. Частим джерелом помилок при підставлянні є «мінуси», тому на них слід звертати особливу увагу (обчислення з від’ємними числами може бути корисним для повторення перед підставлянням цих чисел у вирази).

Приклад:

Існують такі перетворення виразів, які зберігають значення виразу для всіх можливих підстановок змінних. Приклади перетворень:

Обережно з частою помилкою при відніманні дужок: не слід забувати, що «мінус і мінус дає плюс».

Рівняння з невідомою x записується у вигляді L(x) = P(x), де L(x), P(x) є виразами зі змінною x. L(x) − це ліва сторона рівняння, а P(x) − права сторона рівняння. Розв’язати рівняння означає знайти всі значення змінної x, для яких вирази L(x) і P(x) мають однакове значення. Ці значення називаються коренями рівняння. Обчислення значень L(x) і P(x) для конкретного x називається перевіркою.

Розв’язання рівнянь

Рівняння розв’язують за допомогою еквівалентних перетворень, тобто таких перетворень, які не змінюють множину коренів рівняння. До таких перетворень належать, наприклад:

• зміна місцями лівої та правої сторони рівняння,
• додавання або віднімання однакового виразу до обох сторін рівняння,
• множення або ділення обох сторін рівняння на ненульове число.

Типи рівнянь

Основні лінійні рівняння містять тільки константи та добутки змінної. Для ретельного тренування у межах Знаємо це рівняння поділяються на кілька груп:

Інші типи рівнянь наведено в розділі Важчі рівняння − це, наприклад: рівняння з дробовими виразами, системи двох рівнянь, квадратні рівняння, експоненціальні рівняння та логарифмічні рівняння.

У тригонометричних рівняннях невідоме з’являється в аргументі тригонометричних функцій, наприклад, \sin x = 2 \cos (x+\pi). Якщо не зазначено інше, припускаємо, що аргументи тригонометричних функцій у радіанах.

Запис виразів з тригонометричними функціями та пріоритет операцій

У запису виразів з тригонометричними функціями часто опускаємо дужки навколо аргументу (пишемо \sin x замість \sin(x)), якщо зрозуміло, що є аргументом тригонометричної функції.

Важливо при читанні виразів із тригонометричними функціями розуміти, яка операція буде виконана раніше. Наприклад, \cos x + 2 не є тим самим, що \cos(x+2), тому що функцію \cos застосовуємо у виразі без дужок раніше, ніж додавання або віднімання. Зазвичай \sin 2x розуміємо як \sin (2x), але коли маємо вираз \sin x \sin x, розуміємо його як \sin (x) \cdot \sin (x).

Степені значень тригонометричних функцій також мають свій спеціальний запис:

Поради для розв’язання тригонометричних рівнянь

Крім знань про значення, властивості та графіки тригонометричних функцій, можуть знадобитися також:

• тригонометричні формули,
• так звана тригонометрична одиниця – співвідношення \sin^2 x + \cos^2 x = 1, яке діє для будь-якого дійсного x,
• підстановка, наприклад, \cos^2 x -2 \cos x +1 = 0 можна спочатку розв’язати як квадратне рівняння t^2 -2t +1 pro t=\cos x, а вже для знайдених значень t шукати відповідні значення x.

Словесні задачі типу «я задумав число» полягають у тому, що оповідач задумує таємне число, надає нам інформацію про нього, і ми повинні це число знайти.

Приклад: Я задумав число. Коли від нього відняти 6 і результат поділити на два, отримуємо 2. Яке число я задумав?

Прості задачі цього типу можна розв’язати міркуванням у голові. Для складніших задач зручно записати задачу за допомогою рівняння

Завдання про спільну роботу є особливим типом текстових завдань, де зазвичай бере участь кілька працівників, і наше завдання — визначити, скільки часу їм знадобиться для виконання роботи разом.

Приклад задачі про спільну роботу: На занятті з травництва у магічній школі Хогвартс учні обробляли грядки з мандрагорами. Невіллу знадобилося 40 хвилин для обробки грядки, а Драко Малфою вдалося обробити таку саму грядку за 24 хвилини. Скільки хвилин їм знадобиться для обробки грядки, якщо вони працюватимуть разом?

Задачі про спільну роботу розв’язують, використовуючи непряму пропорційність і дроби.

Арифметична послідовність – це математична послідовність, в якій між кожними двома послідовними членами є постійна різниця. Ця різниця зазвичай позначається як d і називається диференцією.

• Рекурентне співвідношення: a_n = a_{n-1} + d
• Формула для n-го члена: a_n = a_1+ (n-1)\cdot d
• Приклади:
  • 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... (a_1=1, d=2)
  • 20, 17, 14, 11, 8, ... (a_1=20, d=-3)
  • 300, 305, 310, 315, 320, ... (a_1=300, d=5)

Геометрична послідовність – це математична послідовність, в якій між кожними двома послідовними членами є постійне відношення. Це відношення зазвичай позначається як q.

• Рекурентне співвідношення: a_n = q \cdot a_{n-1}
• Формула для n-го члена: a_n = q^{n-1}\cdot a_1
• Приклади:
  • 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (a_1=1, q=2)
  • 1000, 100, 10, 1, 0{,}1, 0{,}01, ... (a_1=1000, q=0,1)
  • 5, 15, 45, 135, 405, ... (a_1=5, q=3)
  • 8, -8, 8, -8, 8, -8, ... (a_1=8, q=-1)

Послідовність — це набір об’єктів, у яких важливий порядок і які можуть повторюватися. Послідовність може бути як скінченною, так і нескінченною. Члени послідовності зазвичай записують за допомогою індексів: a_n позначає n-й член послідовності a.

Послідовності можна записувати різними способами:

• переліком членів: a = (7, 10, 13, 16, 19, 22)
• формулою для n-го члена: a_n = 4 + 3\cdot n
• рекурентно (початок послідовності та спосіб обчислення наступних членів із попередніх): a_1 = 7, a_n = a_{n-1} + 3

Приклади:

• 8, 18, 28, 38, 48, 58… (арифметична послідовність із початковим значенням 8 та різницею 10)
• 3, 6, 12, 24, 48, 96… (геометрична послідовність із початковим значенням 3 та коефіцієнтом 2)
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… (послідовність Фібоначчі, a_n = a_{n-1} + a_{n-2})
• 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2… (періодична послідовність)

Існує безліч цікавих послідовностей. Вони навіть мають власну енциклопедію.