Дроби, відсотки, десяткові числа

Дроби записуємо у вигляді \frac{a}{b}, де a називається чисельником, а b — знаменником. Щоб дріб мав сенс, знаменник не має дорівнювати нулю. Значення дробу відповідає діленню. Приклад: у дробі \frac32 чисельником є число 3, а знаменником — число 2, значення дробу \frac32 дорівнює діленню 3:2 = 1{,}5.

Розширення і скорочення

Значення дробу не змінюється при розширенні і скороченні (ненульовим числом c).

Приклади:

• Розширення дробу \frac64 числом 5: \frac64 = \frac{6\cdot 5}{4\cdot 5} = \frac{30}{20}.
• Скорочення дробу \frac64 числом 2: \frac64 = \frac{6:2}{4:2} = \frac{3}{2}.

Звичайна форма

Завдяки розширенню та скороченню ми можемо одну й ту саму величину записати нескінченною кількістю різних дробів. Дріб \frac{a}{b} знаходиться у звичайній формі, якщо числа a, b мають єдиний спільний дільник — число 1.

Приклади:

• Дріб \frac64 не є у звичайній формі, тому що числа 6 і 4 мають спільний дільник 2. Отже, дріб можна ще скоротити.
• Дріб \frac34 є у звичайній формі, тому що числа 3 та 4 мають одиницю як єдиний спільний дільник.

Дроби виражають частини цілого. Ми можемо виразити їх графічно різними способами:

Дроби можна розмістити на числовій осі, перетворивши їх на десяткові числа (просто поділивши чисельник на знаменник), а потім діяти так само, як із десятковими числами. Наприклад, \frac{6}{5} = 1{,}2, тобто дріб \frac{6}{5} лежить на дві десяті праворуч від одиниці. Інші приклади:

Дроби, менші за 1, можна розміщувати безпосередньо на числовій осі також (без перетворення на десяткове число) завдяки уявленню про “частину від цілого”. Якщо потрібно розмістити дріб \frac{3}{7}, уявляємо, як би ми розділили відрізок від 0 до 1 на сім рівних частин. Тоді дріб \frac{3}{7} розмістимо на третій позиції.

Корисно мати чітке уявлення про дроби, особливо з малим знаменником:

Перш ніж розпочати порівняння дробів, важливо зрозуміти, що таке чисельник («те, що зверху») і знаменник («те, що знизу»). У дробі \frac{3}{7} 3 – це чисельник, а 7 – знаменник.

Порівняння дробів з однаковим знаменником

Порівнювати дроби з однаковим знаменником дуже просто: достатньо просто порівняти чисельники. Наприклад, якщо ми порівнюємо дроби \frac{3}{7} і \frac{5}{7}, більшим буде другий дріб. Обидва дроби виражають сьомі частини цілого, і п’ять сьомих більше, ніж три сьомих.

Порівняння дробів з однаковим чисельником

Якщо дроби мають однаковий чисельник, тоді потрібно порівняти знаменники. У цьому випадку порядок дробів буде протилежним до порядку знаменників. Якщо порівнюємо, наприклад, дроби \frac{1}{4} і \frac{1}{5}, більшим буде одна чверть: отримаю більший шматок піци, якщо її поділити на 4 частини, ніж якщо поділити на 5.

Різні знаменники і чисельники

У такому випадку нам потрібно спочатку звести дроби до спільного знаменника, а потім порівняти їх за чисельниками. Приклад: порівняння дробів \frac{2}{3} та \frac{4}{7}. Найменший спільний знаменник – 21, після розширення отримуємо пару дробів \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21} та \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}. Оскільки 14 > 12, більшим є перший дріб, тобто \frac{2}{3}.

Порівняння без обчислень

Часто можна порівняти дроби без детальних обчислень, якщо правильно їх уявити або порівняти з відповідним значенням «посередині»:

• Дроби \frac{2}{3} і \frac{7}{6}. Перший з них менший за 1, другий більший за 1. Отже \frac{2}{3} < \frac{7}{6}.

• Дроби \frac{1}{3} і \frac{4}{5}. Перший з них явно менший за половину, другий значно більший за половину. Отже, \frac{1}{3} < \frac{4}{5}.

Якщо у дробу знаменник більше за чисельник (дріб є меншим за одиницю), такий дріб називається правильним. Неправильні дроби (тобто ті, що більше за одиницю) можна записати у вигляді змішаного дробу. Змішаний дріб a\frac{b}{c} є записом суми a + \frac{b}{c}, де \frac{b}{c} додатній дріб, менший за одиницю. Приклади:

• 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}
• 2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}

Перетворення змішаного дробу на неправильний виконується на основі того, що одиницю можна записати, як \frac{c}{c}. Приклад: 3\frac14 = 3\cdot\frac44 + \frac14 = \frac{12}{4}+\frac14 = \frac{13}{4}.

Перетворення неправильного дробу на змішаний дріб здійснюється за допомогою ділення з остачею. Ціла частина змішаного дробу відповідає частці, а чисельник дробу, що залишився, відповідає остачі. Приклад:

• \frac{17}{3} = 5\frac23, оскільки 17:3 є 5, а остача – 2.
• \frac{15}{7}= 2\frac17, оскільки 15:7 є 2, а остача – 1.

Перш ніж почати додавати дроби, важливо розуміти, що таке чисельник («те, що зверху») і знаменник («те, що знизу»). У дробі \frac{3}{7} чисельник — це 3, а знаменник —7.

Додавання дробів із однаковим знаменником

Якщо дроби, які додаються, мають однаковий знаменник, достатньо просто додати чисельники. Знаменник залишаємо незмінним, тобто \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.

Додавання дробів з різними знаменниками

Якщо дроби мають різні знаменники, спочатку їх потрібно привести до спільного знаменника. Найзручніше привести дроби до найменшого спільного кратного початкових знаменників. Як тільки дроби мають однаковий знаменник, їх можна додавати за вказаним вище принципом.

Скорочення та віднімання

Зазвичай отриманий дріб потрібно ще скоротити, щоб отримати результат у нескоротному вигляді. Віднімання дробів виконується так само, як і додавання.

Приклади

Множення дробів можна уявити за допомогою шоколаду. Якщо множимо \frac45\cdot \frac23, то це як взяти чотири з п’яти стовпчиків і два з трьох рядків. Скільки квадратів шоколаду ми візьмемо таким чином? Вісім з п’ятнадцяти, тобто \frac{8}{15}.

При множенні дробів ми просто множимо чисельники першого і другого дробів і отримуємо чисельник результату, аналогічно для знаменників: \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}. Якщо хочемо уникнути множення великих чисел, можна скоротити дроби, і навіть «навхрест».

Ділення дробів це те саме, що і множення на обернений дріб: \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}.

Відсоток (%) – це безрозмірна одиниця, яка виражає соту частину цілого. Наприклад, запис «42 %» (42 відсотки) означає те саме, що і дріб \frac{42}{100} або десяткове число 0,42.

Проміле (‰) – це одна десята відсотка, тобто одна тисячна частина цілого.

Основне використання відсотків — для вираження частини цілого, наприклад:

• яка частина населення працює в сільському господарстві,
• скільки студентів успішно склали іспит,
• скільки алкоголю містить пляшка вина.

Інші сфери використання відсотків:

• вираження ймовірності (яка ймовірність, що завтра буде дощ),
• фінансові відносини (знижки, відсоткові ставки),
• обробка та презентація статистичних даних.

Для кращого засвоєння відсотків корисно розвинути базову інтуїцію щодо того, що означають відсотки та як окремі значення відповідають графічному зображенню. Деякі значення, які часто зустрічаються, корисно запам’ятати напам’ять:

Для обчислення з відсотками важливо усвідомити, що відсоток — це одна сота частина, тобто \frac{1}{100}. Якщо, наприклад, ми хочемо обчислити 15 % з 300, рахуємо так: 15\ \% \textrm{ з } 300 = \frac{15}{100} \cdot 300 = 15 \cdot 3 = 45.

Для деяких відсотків можна спростити обчислення:

• 50 % = одна друга, тобто ділимо на 2
• 25 % = одна четверта, тобто ділимо на 4
• 10 % = одна десята, тобто ділимо на 10
• 90 % = без однієї десятої

Перетворення відсотків на дріб у нескоротний вигляд

Один відсоток – це те саме, що одна сота, тобто \frac{1}{100}. Тому множимо число, яке виражає відсотки, на дріб \frac{1}{100}, а потім скорочуємо дріб (за допомогою ділення на найбільший спільний дільник) до нескоротного вигляду. Приклади:

• 45\ \% = 45 \cdot \frac{1}{100} = \frac{45}{100} = \frac{5\cdot 9}{5\cdot 20}= \frac{9}{20}
• 12\ \% = 12 \cdot \frac{1}{100} = \frac{12}{100} = \frac{4\cdot 3}{4\cdot 25}= \frac{3}{25}

Перетворення дробу на відсотки

Ми хочемо виразити дріб \frac{a}{b} у вигляді p\ \%. Оскільки один відсоток – це одна сота, має виконуватися рівність \frac{a}{b} = \frac{p}{100}. Тому p = \frac{a}{b}\cdot 100. Достатньо помножити дріб на число 100. Приклади:

• \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\ \% = \frac{200}{5}\ \% = 40\ \%
• \frac{3}{20} = \frac{3}{20} \cdot 100\ \% = \frac{300}{20}\ \% = 15\ \%

Десяткове число – це спосіб запису числа за допомогою цілої частини та десяткової частини, які розділені десятковою комою. Наприклад, у записі 154,28 число 154 є цілою частиною, а 28 – десятковою частиною. На першому місці після десяткової коми знаходяться десяті, на другому – соті, на третьому – тисячні.

За допомогою десяткових чисел ми виражаємо числа, які не є “цілими”. Наприклад, якщо поділити 6 пирогів порівну між 4 дітьми, кожна дитина отримає “один з половиною” пиріг, що записується як 1,5.

Примітка щодо запису десяткових чисел: в українській мові використовується десяткова кома. В англосаксонських країнах використовується десяткова крапка, тобто замість 154,28 пишеться 154.28. Цей спосіб запису використовується в обчислювальній техніці по всьому світу.

У різних підтемах ви можете потренувати:

• перетворення між словесним найменуванням і числовим записом –⁠⁠⁠⁠⁠ десяткові числа словесно,
• порівняння додатних та від’ємних чисел з десятковою частиною –⁠⁠⁠⁠⁠ порівняння десяткових чисел,
• округлення чисел до різної кількості десяткових знаків –⁠⁠⁠⁠⁠ округлення десяткових чисел,
• розміщення десяткових чисел на числовій осі,
• використання спеціальних правил для додавання та віднімання, множення, ділення та комбінації цих операцій з десятковими числами, а також їх ступені та корені,
• зв’язок між десятковими числами та дробами –⁠⁠⁠⁠⁠ перетворення між цими двома способами математичного запису нецілих чисел,
• розв’язання рівнянь, в яких використовуються десяткові числа.

Десяткові числа можна читати багатьма різними способами. Перший – це пряме читання, коли замість “кома” ми кажемо “ціла”. Десяткову частину можна прочитати, як одне число або називати за цифрами:

Також можна читати десяткове число за десятими, сотими, тисячними:

Іноді десяткове число можна також назвати за відповідним дробом:

При порівнянні десяткових чисел ми шукаємо «найважливішу» частину, в якій вони відрізняються, і порівнюємо їх за цією частиною. Спочатку порівнюємо цілу частину. Якщо цілі частини однакові, порівнюємо десятини, потім сотні, тисячні й так далі. Також не забуваємо перевірити знак перед числом, який має такий самий вплив, як і в цілих числах. Наприклад:

• 15{,}3 < 17{,}9987 – вони відрізняються у цілій частині, тому десяткові місця можна ігнорувати для порівняння.

• 0{,}2 > 0{,}17 – ціла частина однакова, тому порівнюємо десяткові числа, де 2>1. У прикладах цього типу часто помилково вважають, що 17 > 2, що є неправильним. Для кращого уявлення можна доповнити нуль на початку: 0{,}20 > 0{,}17.

• 3{,}21 > -3{,}22 – тут не важливі десяткові місця, оскільки перше число додатне, а друге від’ємне.

• -4{,}2791 < -4{,}2758 – порівнюємо цифри у позиції тисячних (9 та 5), результат оцінювати «навпаки», оскільки числа від’ємні.

Округлення десяткових чисел працює подібно до округлення цілих чисел, але враховуємо і частину після десяткової коми. Для десяткових чисел це є особливо важливим, оскільки деякі числа в десятковій системі не можна точно записати, наприклад, \frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots, \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots, \pi = 3{,}14 159\ldots

Округлення до десятих означає, що число замінюється найближчим кратним числу 0,1 (тобто числом з однією цифрою після десяткової коми).

Округлення до сотих означає, що число замінюється найближчим кратним числу 0,01 (тобто числом з двома цифрами після десяткової коми). Як і при округленні цілих чисел, так і при округленні десяткових чисел числа, що закінчуються на цифру 5, округлюються вгору. Приклади:

• 3,628 округлюємо до десятих – це 3,6.
• 3,628 округлюємо до сотих – це 3,63.
• 12,25 округлюємо до десятих – це 12,3.
• 4,8975 округлюємо до цілого числа – це 5.
• 84,15 округлюємо до десятків – це 80 (звертайте увагу на формулювання: відрізняйте “до десятих” і “до десятків”).

Ці принципи округлення дозволяють проводити приблизні обчислення та зручніше передавати результати.

Подібно до інших числових осей, перший крок – визначити, яка відстань між позначками на числовій осі. При роботі з десятковими числами відстань часто становить 0,1 (одна десята), але це не обов’язково так.

Приклад:

При додаванні й відніманні десяткових чисел ми діємо так само, як і при звичайному додаванні та відніманні, але потребуємо мати числа “вирівняні” за допомогою десяткової коми. Як корисний інструмент (особливо при додаванні й відніманні у стовпчик) можна доповнити числа справа, щоб обидва числа мали однакову кількість цифр після коми. Наприклад:

• 1{,}2+2{,}3 = 3{,}5

• 3{,}457+4{,}2 = 3{,}457+4{,}200 = 7{,}657

• 1{,}3-0{,}8 = 0{,}5

• 0{,}001+0{,}01+0{,}1 = 0{,}001+0{,}010+0{,}100 = 0{,}111

• 2{,}01-0{,}1 = 2{,}01 - 0{,}10 = 1{,}91

Множення десяткових чисел можна виконати таким чином: 1) Обидва числа множимо так, наче у них взагалі немає десяткової коми. 2) У результаті ставимо десяткову кому так, щоб було стільки ж десяткових знаків, скільки мають обидва множники разом. Цей метод відповідає множенню з подальшим діленням на відповідне число, кратне десяти. Приклади:

• 5 \cdot 0{,}4: множимо 5\cdot 4 = 20, результат зміщуємо на 0+1=1 знак після коми, отримуємо 2{,}0.

• 2{,}5 \cdot 0{,}05: множимо 25\cdot 5=125, результат зміщуємо на 1+2=3 знаки після коми, отримуємо 0,125.

• 0{,}9 \cdot 0{,}8: множимо 9\cdot 8=72, результат зміщуємо на 1+1=2 знаки після коми, отримуємо 0,72.

Результат варто перевірити за допомогою швидкого оцінювання округлених чисел. Наприклад, при множенні 0{,}9 \cdot 0{,}8 обидва множники «трохи менші за 1», тож і результат має бути «трохи меншим за 1 \cdot 1», а при множенні 4{,}92 \cdot 3{,}06 можна легко оцінити, що результат має бути приблизно 5 \cdot 3 = 15.

При діленні десяткових чисел можна легко позбутися десяткової частини, помноживши як ділене, так і дільник на достатньо велике число, кратне десяти. Після цього числа діляться так само, як натуральні числа.

Приклади:

• 8:0{,}2 = 80:2 = 40
• 1:0{,}05 = 100:5 = 20
• 2{,}5:2 = 25:20 = 1{,}25

Перетворення десяткового числа на звичайний дріб

Десяткове число множимо на число, кратне десяти так, щоб «позбутися» десяткової коми. Потім скорочуємо дріб (найбільшим спільним дільником), щоб отримати дріб у найпростішому вигляді. Приклади:

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Розрахунки можуть бути простішими, якщо запам’ятати деякі корисні перетворення, за допомогою яких можна вирішити й інші приклади:

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Перетворення звичайного дробу на десяткове число

Значення дробу – це просто частка чисельника і знаменника. Тому дріб можна виразити як десяткове число, просто поділивши чисельник на знаменник (може бути корисним використовувати метод «ділення стовпчиком»). Приклади:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15