Аналітична геометрія

Аналітична геометрія дозволяє нам алгебраїчно записувати геометричні задачі та вирішувати їх за допомогою рівнянь.

Найпростіші об’єкти, які можна описати аналітично, – це точки, відрізки і вектори у площині або у просторі. Коли ми вже вміємо використовувати вектори, ми можемо використовувати їх для опису прямих чи площин.

У випадку прямих і площин ми все ще маємо справу з об’єктами, які можна описати лінійними рівняннями або системами лінійних рівнянь. Якщо ми розглядаємо квадратичні рівняння, ми можемо описати також конічні перетини у площині. Наприклад, таких, як коло, еліпс, парабола або гіпербола.

Два важливі типи задач, які ми вирішуємо у межах аналітичної геометрії – це задачі про взаємне розташування геометричних фігур і метричні задачі, де ми обчислюємо конкретне числове значення величин. Наприклад, відстань між двома точками або кут, утворений двома прямими, що перетинаються.

Якщо розглядати точки у площині або у просторі, де встановлено декартову систему координат (у площині з двома осями x,y або у просторі з трьома осями x,y,z), ми можемо чисельно описати точки координатами у площині або координатами у просторі.

За допомогою координат ми можемо обчислити відстань між двома точками “по прямій”, тобто довжину відрізка у площині або й у просторі.

Координати точок зазвичай записуються за допомогою декартової системи координат у площині, яка має дві перпендикулярні прямі осі. Горизонтальна пряма традиційно позначається x, і координати вздовж цієї осі записуються першими. Вертикальна пряма традиційно позначається y, і координати вздовж цієї осі записуються другими. Прямі x і y перетинаються в точці [0;0].

Прямі x та y є координатними осями, точка [0;0] є початком системи координат.

Приклад: координати точки A

Точка A на рисунку в даній системі координат визначається, як x=1, y=2, що можна записати, як A[1;2].

Інші приклади координат точок

Декартова система координат у площині визначається трійкою взаємно перпендикулярних числових осей x,y,z, які перетинаються в точці [0;0;0].

Прямі x,y,z є координатними осями у просторі, точка [0;0;0] є початком системи координат.

Приклад: координати точки A

Точка A на рисунку в даній системі координат визначається, як x=4, y=2, z=3, що можна записати, як A[4;2;3].

Довжину відрізка на площині обчислюємо так само, як відстань між точками на площині.

Якщо задані координати A[x_A; y_A], B[x_B; y_B], довжина відрізка AB дорівнює:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Формула базується на теоремі Піфагора.

Довжину відрізка у просторі обчислюємо так само, як відстань між точками у просторі.

Якщо задано координати A[x_A; y_A;z_A], B[x_B; y_B;z_B], довжина відрізка AB дорівнює:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Векторний простір – це множина всіх однаково орієнтованих відрізків, які мають однакову довжину. Кожен з цих відрізків називається розміщенням вектора.

Вектор визначається початковою і кінцевою точкою, графічно зображується стрілкою, що вказує на кінцеву точку, і записується так: \vec{u}=\overrightarrow{AB}

На рисунку точка A – початкова точка вектора \vec{u}, а точка B – кінцева точка вектора \vec{u}.

Пряма лінія однозначно визначається точкою, яка на ній лежить, і напрямним вектором. Їх можна попрактикувати в розділі Визначення прямої.

У площині й у просторі пряму можна записати, як множину точок, які задовольняють параметричне рівняння. У площині також можемо записати пряму за допомогою загального рівняння (але у просторі — ні).

Маючи пряму, описану рівнянням, можемо визначити взаємне розташування двох прямих або взаємне розташування прямої та точки за допомогою обчислень.

Пряма зазвичай визначається точкою і вектором або двома точками.

Пряма p на рисунку може бути визначена, наприклад:

• точкою A=[1;2], яка на ній лежить, і напрямковим вектором \vec{u}=(1;-2)
• або двома різними точками [1;2] тa [2;0], які на ній лежать

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд: ax+by+c=0, де константи a та b є координатами нормалі, а c − дійсне число. Нормаль \vec{n}=(a;b) є вектором, перпендикулярним до даної прямої, а отже, і до вектора прямої.

У задачах на розташування аналізуємо аналітично взаємне розташування геометричних фігур у площині. Найчастіше мова йде про взаємне положення двох прямих або про взаємне положення прямої і точки.

У метричних задачах з аналітичної геометрії завданням зазвичай є обчислення конкретного числового значення величин, таких як:

– відстань між двома об’єктами, наприклад, відстань від точки до прямої,

– кутове відхилення двох прямих у площині.

Пряма однозначно визначається точкою та двома векторами, які не є колінеарними. На малюнку площина \alpha визначена точкою A та векторами \vec{u}, \vec{v}. Кожен вектор, який є перпендикулярним до площини \alpha називається нормаллю площини \alpha. На рисунку зображено нормаль \vec{n}.

Параметричні рівняння площини

Площина, визначена точкою A=[a_1;a_2;a_3] та векторами \vec{u}=(u_1;u_2;u_3) та \vec{v}=(v_1;v_2;v_3), має параметричні рівняння такого вигляду:

\begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\z&=&a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Скорочено можемо записати \alpha:X=A+t\vec{u}+s\vec{v}, де t, s називаються параметрами.

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд ax+by+cz+d=0, де константи a, b, c є координатами нормалі, а d є дійсне число.

Точка та площина

Точка M=[m_1;m_2;m_3] лежить у площині, якщо її координати задовольняють рівняння площини.

• Якщо площина задана загальним рівнянням ax+by+cz+d=0, для координат точки, яка лежить на прямій, виконується рівність: a\cdot m_1+b\cdot m_2+c\cdot m_3+d=0
• Якщо площина задана параметрично, то після підстановки координат точки у параметричні рівняння отримуємо систему трьох рівнянь з двома невідомими t, s, яка має єдине розв’язання (пару дійсних чисел).

Дві паралельні площини

Нормалі двох паралельних площин \alpha: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 a \beta: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 є колінеарними, тобто координати одного вектора є кратними координатам іншого вектора. Для констант у загальних рівняннях має виконуватися:

\begin{array}{rll}a_2&=&k\cdot a_1\\ b_2&=&k\cdot b_1\\c_2&=&k\cdot c_1\\&&k\in\mathbb{R}\end{array}

Якщо також виконується рівність d_2=k\cdot d_1, то площини є тотожними.

Загальне рівняння площини має вигляд ax+by+cz+d=0, де константи a, b, c є координатами нормалі, а d − дійсне число. Нормаль \vec{n}=(a;b;c) є вектором, перпендикулярним до даної площини.