Множина — це сукупність елементів. Множини використовуються як складова частина у багатьох галузях математики. Приклад з геометрії: коло — це множина точок, які мають однакову відстань від центру. Множини також мають багато практичних застосувань. Наприклад, при розробці інтернет-магазину програма працює множиною доступних товарів. Множини важливі й для вивчення основ математики. Вони допомагають нам, наприклад, зрозуміти, що таке нескінченність.
Для роботи з множинами потрібно спочатку опанувати основні поняття і позначення та ознайомитися з різними способами запису множин (переліком, характеристичною властивістю, стандартним позначенням).
З множинами можна виконувати множинні операції, як-от, об’єднання та перетин. Ці операції спочатку бажано відпрацювати на конкретних прикладах. Коли ми розуміємо окремі випадки, настає черга загальних властивостей множин і множинних операцій. Для отримання уявлення та інтуїції корисно зображати множини за допомогою діаграм Венна.
До складніших тем належать множини множин та булеан.
ВгоруМножини: основні поняття
Множина — це набір елементів. У множині не важливий порядок елементів і не враховуються повторювані елементи. Такі множини є однаковими:
- \{\square, \bigcirc, \triangle\}
- \{\bigcirc, \triangle, \square\}
- \{\square, \square, \square, \bigcirc, \bigcirc, \triangle\}
| Позначення | Поняття | Коментар |
|---|---|---|
| \emptyset | порожня множина | |
| \overline{A} | доповнення | елементи, які не належать до множини A |
| x \in A | належить множині | елементи x належать до множини A |
| A \cap B | перетин | елементи, які належать до обох множин A, B |
| A \cup B | об’єднання | елементи, які належать принаймні до однієї з множин A, B |
| A \setminus B | різниця | елементи, які належать до множини A, але не належать до B |
| A = B | рівність | рівність множин A, B |
| A \subseteq B | підмножина | усі елементи множини A належать і до множини B |
| A \subset B | власна підмножина | A є підмножиною B і одночасно A \neq B |
| |A| | розмір множини | кількість елементів множини |
| A \cap B = \emptyset | диз’юнктні множини | множини A, B не мають жодного спільного елемента |
Запис множин
Важливі числові множини мають у математиці свої стандартні позначення:
| \mathbb{N} | множина натуральних чисел |
| \mathbb{Z} | множина цілих чисел |
| \mathbb{Q} | множина раціональних чисел |
| \mathbb{R} | множина дійсних чисел |
Інші множини записуємо двома основними способами:
Запис переліком. Просто перераховуємо елементи множини і записуємо їх за допомогою фігурних дужок. Наприклад, M = \{3, 7, 9\} – це триелементна множина, яка містить числа 3, 7 і 9.
Запис за допомогою характеристичної властивості. Визначаємо, з якої множини вибираємо елементи та яку властивість вони мають задовольняти. Наприклад, M = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 10\} – це множина натуральних чисел, менших за 10.
ВгоруВластивості множин та операцій над ними
- Кожна множина є своєю підмножиною: A\subseteq A.
- Множина не може бути своєю власною підмножиною.
- Порожня множина є підмножиною будь-якої множини: \emptyset \subseteq A.
- Порожня множина не має жодної власної підмножини.
- A \subseteq A \cup B
- A \cap B \subseteq A
- A \subseteq A \wedge B \subseteq A \Leftrightarrow A=B
Діаграми Венна
Діаграма Венна показує всі можливі взаємозв’язки кількох множин. Діаграма Венна зображає елементи множин як точки на площині, а множини – як області всередині кривих. Найчастіше використовуються діаграми Венна для двох і трьох множин, в яких множини представлені за допомогою кіл. Можливо створити діаграми Венна і для більшої кількості множин, але для цього вже не вистачить кіл (такі діаграми не є зручними для використання і тому використовуються рідко).
Типова діаграма Венна для трьох множин:
Приклад із конкретними елементами (множина A містить червоні фігури, множина B містить кола, множина C містить заповнені фігури):
Діаграми Венна використовуються, наприклад, для наочної ілюстрації операцій над множинами. Наступний рисунок ілюструє B \cap (A \cup C):
Множини множин, булеан
Множина як елемент множини
Елементом множини може бути інша множина. З таким елементом працюємо так само, як і з іншими елементами, лише не варто плутатися.
Приклад: множина M = \{a, \{b, c, d, e\}, \emptyset\} містить три елементи:
- “звичайний” елемент a
- чотириелементну множину \{b, c, d, e\}
- порожню множину \emptyset
Слід відрізняти порожню множину від множини, яка містить порожню множину:
- \emptyset (також можемо записати \{\}) — це порожня множина, її розмір дорівнює 0,
- \{\emptyset\} — це множина, яка містить порожню множину, її розмір дорівнює 1.
Булеан
Булеан M містить усі підмножини множини M. Булеан позначаємо \mathcal{P}(M) (існують також інші позначення, наприклад, 2^M).
Приклад: для множини M = \{a, b, c\} усі її підмножини:
- \{\}
- \{a\}
- \{b\}
- \{c\}
- \{a, b\}
- \{a, c\}
- \{b, c\}
- \{a, b, c\}
Булеан — це множина всіх цих множин, тобто \mathcal{P}(M)=\{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}.
Булеан множини M завжди містить як свій елемент саму множину M. Оскільки сама множина M є своєю підмножиною, вона обов’язково міститься у булеані.
Вгору
