Множини множин, булеан

Множина як елемент множини

Елементом множини може бути інша множина. З таким елементом працюємо так само, як і з іншими елементами, лише не варто плутатися.

Приклад: множина M = \{a, \{b, c, d, e\}, \emptyset\} містить три елементи:

• “звичайний” елемент a
• чотириелементну множину \{b, c, d, e\}
• порожню множину \emptyset

Слід відрізняти порожню множину від множини, яка містить порожню множину:

• \emptyset (також можемо записати \{\}) — це порожня множина, її розмір дорівнює 0,
• \{\emptyset\} — це множина, яка містить порожню множину, її розмір дорівнює 1.

Булеан

Булеан M містить усі підмножини множини M. Булеан позначаємо \mathcal{P}(M) (існують також інші позначення, наприклад, 2^M).

Приклад: для множини M = \{a, b, c\} усі її підмножини:

• \{\}
• \{a\}
• \{b\}
• \{c\}
• \{a, b\}
• \{a, c\}
• \{b, c\}
• \{a, b, c\}

Булеан — це множина всіх цих множин, тобто \mathcal{P}(M)=\{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}.

Булеан множини M завжди містить як свій елемент саму множину M. Оскільки сама множина M є своєю підмножиною, вона обов’язково міститься у булеані.