Дроби

Дроби записуємо у вигляді \frac{a}{b}, де a називається чисельником, а b — знаменником. Щоб дріб мав сенс, знаменник не має дорівнювати нулю. Значення дробу відповідає діленню. Приклад: у дробі \frac32 чисельником є число 3, а знаменником — число 2, значення дробу \frac32 дорівнює діленню 3:2 = 1{,}5.

Розширення і скорочення

Значення дробу не змінюється при розширенні і скороченні (ненульовим числом c).

Приклади:

• Розширення дробу \frac64 числом 5: \frac64 = \frac{6\cdot 5}{4\cdot 5} = \frac{30}{20}.
• Скорочення дробу \frac64 числом 2: \frac64 = \frac{6:2}{4:2} = \frac{3}{2}.

Звичайна форма

Завдяки розширенню та скороченню ми можемо одну й ту саму величину записати нескінченною кількістю різних дробів. Дріб \frac{a}{b} знаходиться у звичайній формі, якщо числа a, b мають єдиний спільний дільник — число 1.

Приклади:

• Дріб \frac64 не є у звичайній формі, тому що числа 6 і 4 мають спільний дільник 2. Отже, дріб можна ще скоротити.
• Дріб \frac34 є у звичайній формі, тому що числа 3 та 4 мають одиницю як єдиний спільний дільник.

Дроби виражають частини цілого. Ми можемо виразити їх графічно різними способами:

Дроби можна розмістити на числовій осі, перетворивши їх на десяткові числа (просто поділивши чисельник на знаменник), а потім діяти так само, як із десятковими числами. Наприклад, \frac{6}{5} = 1{,}2, тобто дріб \frac{6}{5} лежить на дві десяті праворуч від одиниці. Інші приклади:

Дроби, менші за 1, можна розміщувати безпосередньо на числовій осі також (без перетворення на десяткове число) завдяки уявленню про “частину від цілого”. Якщо потрібно розмістити дріб \frac{3}{7}, уявляємо, як би ми розділили відрізок від 0 до 1 на сім рівних частин. Тоді дріб \frac{3}{7} розмістимо на третій позиції.

Корисно мати чітке уявлення про дроби, особливо з малим знаменником:

Перш ніж розпочати порівняння дробів, важливо зрозуміти, що таке чисельник («те, що зверху») і знаменник («те, що знизу»). У дробі \frac{3}{7} 3 – це чисельник, а 7 – знаменник.

Порівняння дробів з однаковим знаменником

Порівнювати дроби з однаковим знаменником дуже просто: достатньо просто порівняти чисельники. Наприклад, якщо ми порівнюємо дроби \frac{3}{7} і \frac{5}{7}, більшим буде другий дріб. Обидва дроби виражають сьомі частини цілого, і п’ять сьомих більше, ніж три сьомих.

Порівняння дробів з однаковим чисельником

Якщо дроби мають однаковий чисельник, тоді потрібно порівняти знаменники. У цьому випадку порядок дробів буде протилежним до порядку знаменників. Якщо порівнюємо, наприклад, дроби \frac{1}{4} і \frac{1}{5}, більшим буде одна чверть: отримаю більший шматок піци, якщо її поділити на 4 частини, ніж якщо поділити на 5.

Різні знаменники і чисельники

У такому випадку нам потрібно спочатку звести дроби до спільного знаменника, а потім порівняти їх за чисельниками. Приклад: порівняння дробів \frac{2}{3} та \frac{4}{7}. Найменший спільний знаменник – 21, після розширення отримуємо пару дробів \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21} та \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}. Оскільки 14 > 12, більшим є перший дріб, тобто \frac{2}{3}.

Порівняння без обчислень

Часто можна порівняти дроби без детальних обчислень, якщо правильно їх уявити або порівняти з відповідним значенням «посередині»:

• Дроби \frac{2}{3} і \frac{7}{6}. Перший з них менший за 1, другий більший за 1. Отже \frac{2}{3} < \frac{7}{6}.

• Дроби \frac{1}{3} і \frac{4}{5}. Перший з них явно менший за половину, другий значно більший за половину. Отже, \frac{1}{3} < \frac{4}{5}.

Якщо у дробу знаменник більше за чисельник (дріб є меншим за одиницю), такий дріб називається правильним. Неправильні дроби (тобто ті, що більше за одиницю) можна записати у вигляді змішаного дробу. Змішаний дріб a\frac{b}{c} є записом суми a + \frac{b}{c}, де \frac{b}{c} додатній дріб, менший за одиницю. Приклади:

• 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}
• 2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}

Перетворення змішаного дробу на неправильний виконується на основі того, що одиницю можна записати, як \frac{c}{c}. Приклад: 3\frac14 = 3\cdot\frac44 + \frac14 = \frac{12}{4}+\frac14 = \frac{13}{4}.

Перетворення неправильного дробу на змішаний дріб здійснюється за допомогою ділення з остачею. Ціла частина змішаного дробу відповідає частці, а чисельник дробу, що залишився, відповідає остачі. Приклад:

• \frac{17}{3} = 5\frac23, оскільки 17:3 є 5, а остача – 2.
• \frac{15}{7}= 2\frac17, оскільки 15:7 є 2, а остача – 1.

Перш ніж почати додавати дроби, важливо розуміти, що таке чисельник («те, що зверху») і знаменник («те, що знизу»). У дробі \frac{3}{7} чисельник — це 3, а знаменник —7.

Додавання дробів із однаковим знаменником

Якщо дроби, які додаються, мають однаковий знаменник, достатньо просто додати чисельники. Знаменник залишаємо незмінним, тобто \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.

Додавання дробів з різними знаменниками

Якщо дроби мають різні знаменники, спочатку їх потрібно привести до спільного знаменника. Найзручніше привести дроби до найменшого спільного кратного початкових знаменників. Як тільки дроби мають однаковий знаменник, їх можна додавати за вказаним вище принципом.

Скорочення та віднімання

Зазвичай отриманий дріб потрібно ще скоротити, щоб отримати результат у нескоротному вигляді. Віднімання дробів виконується так само, як і додавання.

Приклади

Множення дробів можна уявити за допомогою шоколаду. Якщо множимо \frac45\cdot \frac23, то це як взяти чотири з п’яти стовпчиків і два з трьох рядків. Скільки квадратів шоколаду ми візьмемо таким чином? Вісім з п’ятнадцяти, тобто \frac{8}{15}.

При множенні дробів ми просто множимо чисельники першого і другого дробів і отримуємо чисельник результату, аналогічно для знаменників: \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}. Якщо хочемо уникнути множення великих чисел, можна скоротити дроби, і навіть «навхрест».

Ділення дробів це те саме, що і множення на обернений дріб: \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}.