Логарифм

Визначення та використання логарифма

Логарифм є оберненою операцією до піднесення до степеня. Логарифм додатного числа x з основою a — це таке дійсне число y = \log_a(x), для якого виконується a^y = x. Число a називається основою логарифма.

Логарифм з основою e=2{,}71 828 182... (число Ейлера) називається натуральним логарифмом і позначається зазвичай \ln.

Логарифм з основою 10 називається десятковим логарифмом (іноді позначається \mathit{lg}).

Логарифми мають дуже широке застосування у багатьох галузях математики. Історично вони використовувалися як корисний обчислювальний інструмент («логарифмічна лінійка»). Сьогодні логарифми часто зустрічаються, наприклад, в інформатиці при розробці та аналізі алгоритмів.

Властивості логарифмів

• Логарифм визначений лише для додатних чисел.
• Логарифм з основою 1 — не визначений.
• Логарифм одиниці дорівнює нулю: \log_a(1)=0.
• Логарифм з однаковою основою та аргументом дорівнює 1: \log_a{a}=1.
• Логарифм добутку є сумою логарифмів: \log_a(x\cdot y)=\log_a{x}+\log_a{y}.
• Логарифм частки є різницею логарифмів: \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a{x}-\log_a{y}.
• Логарифм є оберненою функцією до експоненціальної функції з тією самою основою: \log_a{x}=y \Leftrightarrow a^y=x.
• Логарифм степеня є добутком показника степеня і логарифма основи степеня: \log_a(x^n)=n\log_a{x}.

Графік логарифма

Графік показує логарифм з основою 2: