Співвідношення

Відношення двох або більше додатних чисел — це співвідношення їхніх розмірів.

У вступних вправах ми ознайомимося з такими поняттями, як відношення у простому вигляді, послідовне відношення, обернене відношення та з’ясуємо, яка різниця між відношенням та дробом.

Найпростіше застосування відношення – це поділ числа на частини і зміна (зменшення або збільшення) числа у заданому відношенні. Далі йдуть більш складні обчислення з відношеннями, що включають текстові задачі, які ведуть до розв’язання рівнянь.

Масштаб карти – це спеціальний випадок відношення. З відношеннями також пов’язана тема подібність у геометрії.

Обчислення при відомій сумі (різниці)

Ми шукаємо два числа, коли знаємо їхнє відношення і знаємо їхню суму (або різницю, добуток чи інший вираз). У цьому випадку зазвичай допомагає спочатку обчислити, чому відповідає одна частина у співвідношенні. Зазвичай ми обчислюємо числа, які шукаємо, за тим, скільки частин у співвідношенні відповідає першому і другому числам.

Приклад: Співвідношення заряджених і розряджених батарейок у детекторі смурфиків становить 1:4. Розряджених батарейок на 6 більше, ніж заряджених. Скільки ж є всього заряджених і розряджених батарейок?

Спочатку давайте порахуємо, скільки батарейок відповідають одній частині. Ми знаємо, що розряджених батарейок на 6 більше, ніж заряджених. Розряджені батарейки утворюють 4 частини, а заряджені 1 частину. Таким чином, розряджених на 4-1=3 частини більше, ніж заряджених. Отже, 3 частини відповідають 6 батарейкам. Одна частина тоді це \frac{6}{3}=2 батарейки. У детекторі цілком є 2 заряджені батарейки та 4 \cdot 2 = 8 розряджених батарейок.

Результат: у детекторі цілком є 2 заряджені батарейки та 8 розряджених батарейок.

Обчислення за допомогою рівнянь

Якщо ми вже знайомі з розв’язуванням рівнянь, ми можемо при обчисленні використовувати два рівняння для двох невідомих.

• Перше рівняння ми складаємо з відомого співвідношення.
• Друге рівняння складаємо на основі інформації про значення суми (або різниці, добутку тощо).

Приклад (складніший приклад для тих, хто вже знає рівняння і довжину кола): Ми знаємо, що радіуси двох кіл відносяться як 2 : 5 і що сума їхніх довжин дорівнює 70 \pi. Якими є радіуси кіл?

Позначимо радіуси a і b та запишемо рівняння. Відомо відношення a : b = 2 : 5, тому маємо перше рівняння \frac{a}{b}=\frac{2}{5}. Сума довжин кіл з радіусами a,b дорівнює 2a\cdot \pi + 2b\cdot \pi. Ця сума нам відома, тому друге рівняння має вигляд 2(a+b)\cdot\pi = 70 \pi.

Розв’яжемо систему рівнянь. Помножимо перше рівняння на 5b (при b\neq 0) і отримаємо 5a=2b. Поділимо друге рівняння на додатне число 2\pi і отримаємо a+b=35. Виразимо a з другого рівняння та підставимо його у перше. 5\cdot(35-b)=2b. Спростимо й обчислимо b. 175= 7b, тому b=25. Обчислюємо другий радіус a=35-b=10.

Отримані радіуси кіл дорівнюють a=10,b=25.

Масштаб карти є спеціальним випадком співвідношення. Воно показує, наскільки зменшено зображення ландшафту на карті порівняно з реальним ландшафтом.

Приклади

• Карта з масштабом 1 : 10\,000. Сантиметр на цій карті відповідає 10\,000\ \text{см} = 100\ \text{м} у реальності.
• Креслення, на якому довжина п’ятиметрової статуї становить 2\ \text{см}, має масштаб 2 : (100\cdot 5) = 2 : 500 = 1 : 250.