Дроби: основні поняття

Дроби виражають частини цілого. Ми можемо виразити їх графічно різними способами:

Дроби можна розмістити на числовій осі, перетворивши їх на десяткові числа (просто поділивши чисельник на знаменник), а потім діяти так само, як із десятковими числами. Наприклад, \frac{6}{5} = 1{,}2, тобто дріб \frac{6}{5} лежить на дві десяті праворуч від одиниці. Інші приклади:

Дроби, менші за 1, можна розміщувати безпосередньо на числовій осі також (без перетворення на десяткове число) завдяки уявленню про “частину від цілого”. Якщо потрібно розмістити дріб \frac{3}{7}, уявляємо, як би ми розділили відрізок від 0 до 1 на сім рівних частин. Тоді дріб \frac{3}{7} розмістимо на третій позиції.

Корисно мати чітке уявлення про дроби, особливо з малим знаменником:

Перш ніж розпочати порівняння дробів, важливо зрозуміти, що таке чисельник («те, що зверху») і знаменник («те, що знизу»). У дробі \frac{3}{7} 3 – це чисельник, а 7 – знаменник.

Порівняння дробів з однаковим знаменником

Порівнювати дроби з однаковим знаменником дуже просто: достатньо просто порівняти чисельники. Наприклад, якщо ми порівнюємо дроби \frac{3}{7} і \frac{5}{7}, більшим буде другий дріб. Обидва дроби виражають сьомі частини цілого, і п’ять сьомих більше, ніж три сьомих.

Порівняння дробів з однаковим чисельником

Якщо дроби мають однаковий чисельник, тоді потрібно порівняти знаменники. У цьому випадку порядок дробів буде протилежним до порядку знаменників. Якщо порівнюємо, наприклад, дроби \frac{1}{4} і \frac{1}{5}, більшим буде одна чверть: отримаю більший шматок піци, якщо її поділити на 4 частини, ніж якщо поділити на 5.

Різні знаменники і чисельники

У такому випадку нам потрібно спочатку звести дроби до спільного знаменника, а потім порівняти їх за чисельниками. Приклад: порівняння дробів \frac{2}{3} та \frac{4}{7}. Найменший спільний знаменник – 21, після розширення отримуємо пару дробів \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21} та \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}. Оскільки 14 > 12, більшим є перший дріб, тобто \frac{2}{3}.

Порівняння без обчислень

Часто можна порівняти дроби без детальних обчислень, якщо правильно їх уявити або порівняти з відповідним значенням «посередині»:

• Дроби \frac{2}{3} і \frac{7}{6}. Перший з них менший за 1, другий більший за 1. Отже \frac{2}{3} < \frac{7}{6}.

• Дроби \frac{1}{3} і \frac{4}{5}. Перший з них явно менший за половину, другий значно більший за половину. Отже, \frac{1}{3} < \frac{4}{5}.

Якщо у дробу знаменник більше за чисельник (дріб є меншим за одиницю), такий дріб називається правильним. Неправильні дроби (тобто ті, що більше за одиницю) можна записати у вигляді змішаного дробу. Змішаний дріб a\frac{b}{c} є записом суми a + \frac{b}{c}, де \frac{b}{c} додатній дріб, менший за одиницю. Приклади:

• 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}
• 2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}

Перетворення змішаного дробу на неправильний виконується на основі того, що одиницю можна записати, як \frac{c}{c}. Приклад: 3\frac14 = 3\cdot\frac44 + \frac14 = \frac{12}{4}+\frac14 = \frac{13}{4}.

Перетворення неправильного дробу на змішаний дріб здійснюється за допомогою ділення з остачею. Ціла частина змішаного дробу відповідає частці, а чисельник дробу, що залишився, відповідає остачі. Приклад:

• \frac{17}{3} = 5\frac23, оскільки 17:3 є 5, а остача – 2.
• \frac{15}{7}= 2\frac17, оскільки 15:7 є 2, а остача – 1.