Тригонометричні функції
Тригонометричні функції (або гоніометричні функції) — це група функцій, які пов’язують кут у прямокутному трикутнику з відношенням двох його сторін. Тригонометричні функції мають широке застосування в геометрії та багато практичних застосувань (наприклад, у навігації, небесній механіці чи геодезії). Тригонометричні функції пов’язані з багатьма галузями математики, не тільки з геометрією. Ми можемо зустріти їх, наприклад, у комплексних числах чи нескінченних рядах.
Основні тригонометричні функції — це синус, косинус та тангенс. Інші функції: секанс, косеканс та котангенс.
Обернені функції до тригонометричних функцій називаються циклометричними (як-от, арксинус, арктангенс).
ВгоруТригонометричні функції та прямокутний трикутник
Тригонометричні функції можна виразити у прямокутному трикутнику таким чином:
- Синус (\sin) кута \alpha − це відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи.
- Косинус (\cos) кута \alpha − це відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи.
- Тангенс (\tan) кута \alpha − це відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета.
Якщо пам’ятати визначні значення тригонометричних функцій (наприклад, \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}) або хоча б мати доступ до калькулятора чи математичних таблиць, тобто знати значення \sin, \cos або \tan якого-небудь кута у прямокутному трикутнику, то це означає знати розмір самого кута.
Приклад: знаємо сторони прямокутного трикутника, обчислюємо кути
Прямокутний трикутник ABC має довжини сторін a=24, b=10, c=26. Які розміри його внутрішніх кутів?
- Якщо трикутник прямокутний, то розмір кута \gamma навпроти найдовшої сторони c дорівнює 90^{\circ}.
- Ми знаємо, що \sin \alpha − це відношення протилежної сторони до гіпотенузи, тобто \sin \alpha=\frac{a}{c}.
- Підставимо відомі довжини сторін: \sin \alpha = \frac{24}{26}\doteq 0{,}923
- Відповідно, розмір кута це: \alpha \doteq 67^{\circ}
- Z \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ} обчислюємо, що \beta приблизно дорівнює 23^{\circ}.
Перевірка:
- Ми знаємо, що \cos \beta − це відношення прилеглої до кута \beta сторони до гіпотенузи, тобто \cos \beta = \frac{a}{c}.
- Підставимо відомі довжини сторін: \cos \beta = \frac{24}{26}\doteq 0{,}923
- Відповідний розмір кута: \beta \doteq 23^{\circ}
Приклад: знаємо кут, обчислюємо довжину сторони за допомогою \sin
Нехай маємо прямокутний трикутник ABC з прямим кутом у вершині C, в якому \sin \alpha = \frac{1}{2} і довжина гіпотенузи c=10. Яка довжина сторони a?
- Ми знаємо, що значення \sin \alpha обчислюється, як відношення довжини сторони, протилежної куту \alpha, до довжини гіпотенузи, тобто \sin \alpha = \frac{a}{c}.
- Підставимо в цю рівність за \sin \alpha і за c.
- \frac{1}{2} = \frac{a}{10} \Rightarrow a=5
- Довжина сторони a дорівнює 5.
Приклад: знаємо кут, обчислюємо довжину сторони за допомогою \cos
Нехай маємо прямокутний трикутник ABC з прямим кутом у вершині C, в якому \cos \alpha = \frac{3}{5} і довжина гіпотенузи c=15. Яка довжина сторони a?
- Ми знаємо, що значення \cos \alpha обчислюється, як відношення довжини сторони, прилеглої до кута \alpha, до довжини гіпотенузи, тобто \cos \alpha = \frac{b}{c}.
- Підставимо в цю рівність за \cos \alpha і за c.
- \frac{3}{5} = \frac{b}{15} \Rightarrow b=9
- Довжина сторони b дорівнює 9. Ми хотіли обчислити довжину сторони a, що можна зробити з відомих значень b,c за допомогою теореми Піфагора.
- a^2 = c^2-b^2=255-81=144 \Rightarrow a=12
- Довжина сторони a дорівнює 12.
Приклад: знаємо кут, обчислюємо довжину сторони за допомогою \tan
Нехай маємо прямокутний трикутник ABC з кутом \alpha = 60^{\circ} і довжиною більшого катета 6. Яка довжина іншого катета?
- Ми знаємо, що у прямокутному трикутнику ABC внутрішні кути 60^{\circ}, 90^{\circ}, обчислюємо відсутній кут.
- \beta=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}
- Ми бачимо, що \beta < \alpha.
- Більший катет буде у трикутнику навпроти більшого кута, отже, a=6.
- \tan \alpha − це відношення катета, протилежного куту \alpha до прилеглого катета, тобто \tan \alpha = \frac{a}{b}.
- Підставимо значення \tan \alpha, значення \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} (знаходимо в таблицях або за допомогою калькулятора), підставимо також b=6.
- \sqrt{3} = \frac{6}{b} \Rightarrow b= \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}
- Отже, довжина меншого катета b=2\sqrt{3}.
Значення тригонометричних функцій
Часто використовувані значення тригонометричних функцій ілюструє це зображення одиничного кола – x-ова координата точки відповідає значенню \cos даного кута, y-ова координата точки відповідає значенню \sin z даного кута.
Тригонометричні функції: співвідношення та формули
Для тригонометричних функцій існує велика кількість співвідношень та формул. Ось список основних:
Для від’ємних значень кутів
| \sin(-x) = -\sin(x) (непарна функція) |
| \cos(-x) = \cos(x) (парна функція) |
| \tan(-x) = -\tan(x) (непарна функція) |
Зсуви
| \sin(x+2\pi) = \sin(x) (період 2\pi) |
| \sin(x+\pi) = -\sin(x) |
| \sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos(x) |
Формули для суми аргументів тригонометричних функцій
| \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y) |
| \sin(x-y) = \sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y) |
| \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y) |
| \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y) |
Формули для суми значень тригонометричних функцій
| \sin(x)+sin(y) = 2 \sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) |
| \sin(x)-\sin(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) |
| \cos(x)+\cos(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) |
| \cos(x)-\cos(y) = -2 \sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) |
Подвійний аргумент
| \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) |
| \cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x) |
| \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} |
Властивості тригонометричних функцій
Для обох функцій \sin(x) та \cos(x) є дійсним:
- область визначення — множина дійсних чисел,
- область значень — інтервал \langle -1, 1 \rangle,
- функція є обмеженою,
- функція є періодичною з періодом 2\pi,
- функція не є ін’єктивною.
Для функції \sin(x) є дійсним:
- функція є непарною,
- нульових значень набуває в точках x=k\pi.
Для функції \cos(x) є дійсним:
- функція є парною,
- нульових значень набуває в точках x=(2k+1)\frac{\pi}{2}.
Для функції \tan(x) є дійсним:
- область визначення \{x \in \mathbb{R}: x \neq (2k+1)\frac{\pi}{2} \},
- область значень — множина дійсних чисел,
- функція є непарною,
- функція є періодичною з періодом \pi,
- функція є необмеженою,
- нульових значень набуває в точках x=k\pi.
