Площинні утворення

Теорема Піфагора описує співвідношення, яке існує між довжинами сторін прямокутного трикутника. Теорема має таке формулювання: у прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. Теорему Піфагора можна записати, як c^2 = a^2 + b^2, де c позначає довжину гіпотенузи прямокутного трикутника, а довжини катетів – a, b.

На рисунку графічно зображено формулювання теореми, а також ілюстрацію цієї теореми:

Pl Дійсне і зворотне твердження: якщо у трикутника довжини сторін a, b, c задовольняють рівність c^2 = a^2 + b^2, то це прямокутний трикутник з гіпотенузою c.

Теорема Піфагора дозволяє обчислити довжину третьої сторони прямокутного трикутника, якщо відомі довжини двох інших сторін:

• Довжина гіпотенузи c = \sqrt{a^2 + b^2}. Якщо у прямокутному трикутнику довжини катетів 3 метри і 6 метрів, то гіпотенуза має довжину \sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} \doteq 6{,}41 метра.

• Довжина катета a = \sqrt{c^2-b^2}. Якщо гіпотенуза трикутника має довжину 8 метрів, а один з катетів має довжину 4 метри, то другий катет має довжину \sqrt{8^2-4^2} = \sqrt{64-16} = \sqrt{48} \doteq 6{,}93 метра.

Піфагорові трійки – це три натуральних і цілих числа, які задовольняють рівність a^2+b^2=c^2, тобто трикутник з відповідними довжинами сторін є прямокутним. Типовим прикладом піфагорової трійки є (3, 4, 5): 3^2 + 4^2 = 9+16 = 25 = 5^2.

Інші приклади Піфагорових трійок: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). До Піфагорових трійок належать також усі кратні їм трійки, наприклад: (6, 8, 10); (9, 12, 15); (10, 24, 26). Якщо ми запам’ятаємо деякі основні Піфагорові трійки, особливо найпростішу трійку (3, 4, 5), це може дуже полегшити обчислення.

Теорема Піфагора має дуже широке застосування в геометрії, оскільки багато складних фігур можна розкласти на прямокутні трикутники.

Типовим прикладом застосування теореми Піфагора є обчислення довжини діагоналі квадрата або висоти рівностороннього трикутника:

У квадраті з ребром a діагональ утворює гіпотенузу прямокутного трикутника з катетами довжиною a. Тому для довжини діагоналі u – u^2 = a^2 + a^2. Після скорочення: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Так, наприклад, квадрат зі стороною 10 см має діагональ довжиною 10\cdot \sqrt{2} \doteq 14,1 см.

У рівносторонньому трикутнику зі стороною a висота є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетом довжиною a і гіпотенузою довжиною \frac{a}{2}. Отже, для довжини висоти v – v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Після скорочення отримаємо v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}. Так, наприклад, у рівносторонньому трикутнику зі сторонами 5 метрів висота дорівнює \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5 \doteq 4,33 метра.

Прямокутник належить до чотирикутників. Це власне паралелограм, який має всі внутрішні кути прямі.

Квадрат є особливим випадком прямокутника, який має всі сторони однакової довжини.

Паралелограм — це чотирикутник, протилежні сторони якого є паралельними.

Спеціальні випадки паралелограма:

• Ромб має всі сторони однакової довжини.
• Прямокутник має внутрішні кути прямими.
• Квадрат має внутрішні кути прямими й усі сторони однакової довжини.

Трапеція є чотирикутником, у якого дві протилежні сторони є паралельними (називаємо їх основами), а інші дві протилежні сторони є непаралельними.

Прямокутна трапеція має два прямі внутрішні кути (основи трапеції є паралельними, якщо один внутрішній кут прямий, то його доповнення до 180^{\circ} при другій основі – також прямий кут).

Рівнобічна трапеція має рівні бічні сторони.

Коло з даним центром S і радіусом r складається з усіх точок на площині, які знаходяться від центра на відстані рівно r. Для кожної точки на площині можна визначити, де вона знаходиться:

• на колі (їхня відстань від S дорівнює r)
• у внутрішній області кола (їхня відстань від S менша за r, ці точки не лежать на колі)
• у зовнішній області кола (їхня відстань від S більша за r, ці точки також не лежать на колі)

Круг з даним центром S і радіусом r складається з усіх точок на площині, які знаходяться від центра на відстані не більше r. Круг з даним центром і радіусом є об’єднанням кола з тим же центром і радіусом та його внутрішньою областю. Центр S круга є точкою, яка належить кругу. (Тоді як центр кола не лежить на колі, а в його внутрішній області.)