Графіки лінійних функцій
Лінійну функцію завжди можна записати у вигляді f(x) = a\cdot x + b, де a та b є константами. Параметр a є коефіцієнтом нахилу (також називається кутовим коефіцієнтом), параметр b є вільним членом. Графіком лінійної функції є пряма, при цьому є дійсним:
- Вільний член b задає „вертикальне зміщення“. Це точка перетину прямої з віссю y. У наведених прикладах він позначений помаранчевим кольором.
- Коефіцієнт нахилу a задає нахил прямої, що можна виразити як „на скільки одиниць по осі y зміщується пряма за одну одиницю по осі x“. У наведених прикладах коефіцієнт нахилу позначений жовтим кольором.
Важливими є знаки (позначені на малюнках стрілками). Додатний вільний член означає зміщення вгору, від’ємний вільний член означає зміщення вниз. Додатний коефіцієнт нахилу означає зростаючу пряму, від’ємний коефіцієнт нахилу означає спадну пряму.
Графіки квадратичних функцій
Квадратичну функцію можна виразити у вигляді f(x) = ax^2 + bx + c, де a\neq 0. Графіком квадратичної функції є парабола. Цей графік зображує функцію 0{,}5 x^2 + x - 4:
Точки перетину з віссю x є розв’язками квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0. Для наведеного прикладу 0{,}5 x^2 + x - 4 цими розв’язками є x_1 = -4 a x_2 = 2.
Квадратичний коефіцієнт a впливає на основну форму параболи:
- Якщо a>0, «парабола спрямована вгору» (точніше: це функція, обмежена знизу, опукла).
- Якщо a<0, «парабола спрямована вниз» (точніше: це функція, обмежена згори, увігнута).
- Розмір квадратичного коефіцієнта a впливає на те, наскільки «широка» парабола.
Константний член c впливає на зміщення параболи – він вказує на точку перетину з віссю y.
Графіки тригонометричних функцій
Графіки основних тригонометричних функцій
Вплив змін функції на графік
На рисунку показано графіки кількох змін функції \sin(x).
| \sin(x+1) | графік має зміщену фазу (зсув у напрямку осі x) |
| \sin(x)+1 | графік зміщений у напрямку осі y |
| \sin(2x) | функція має змінену довжину періоду |
| 2\sin(x) | функція має змінену амплітуду |
Графіки показникової та логарифмічної функцій
Графіки експоненційних функцій
Графіком експоненційної функції є крива під назвою експонента. На рисунку показано графіки експоненційних функцій з основами 2 і e = 2{,}7 182 818 284\ldots Ми також бачимо, що графіки функцій e^x та e^{-x} є симетричними відносно осі y.
Ефект додавання константи до експоненційної функції
Ефект додавання константи до експонента
Ефект множення експоненційної функції на константу
Ефект множення експонента на константу
Графіки логарифмічних функцій
Логарифмічна функція є оберненою до експоненційної функції з тією самою основою. Графіки двох взаємно обернених функцій є симетричними відносно осі першого квадранта (прямої, що відповідає x=y).
На рисунку показано графіки логарифмічних функцій з різними основами 2, e, 10.
Позначення деяких визначних логарифмічних функцій:
| функція | опис | інші можливі позначення |
|---|---|---|
| \log_a x | загальний логарифм x з основою a для будь-якого a >0, a\neq 1 | |
| \ln x | натуральний логарифм x, тобто логарифм x з основою e | в англійських текстах іноді \log x |
| \log x | десятковий логарифм x, тобто логарифм x з основою 10 | \log_{10}x |
| \log_2 x | бінарний логарифм x, тобто логарифм x з основою 2 | іноді зустрічається \mathrm{lb}\;x |
Ефект додавання константи до логарифмічної функції
Ефект додавання константи до аргументу логарифмічної функції
Ефект множення логарифмічної функції на константу
Ефект множення аргументу логарифмічної функції на константу
