Десяткові числа

Десяткове число – це спосіб запису числа за допомогою цілої частини та десяткової частини, які розділені десятковою комою. Наприклад, у записі 154,28 число 154 є цілою частиною, а 28 – десятковою частиною. На першому місці після десяткової коми знаходяться десяті, на другому – соті, на третьому – тисячні.

За допомогою десяткових чисел ми виражаємо числа, які не є “цілими”. Наприклад, якщо поділити 6 пирогів порівну між 4 дітьми, кожна дитина отримає “один з половиною” пиріг, що записується як 1,5.

Примітка щодо запису десяткових чисел: в українській мові використовується десяткова кома. В англосаксонських країнах використовується десяткова крапка, тобто замість 154,28 пишеться 154.28. Цей спосіб запису використовується в обчислювальній техніці по всьому світу.

У різних підтемах ви можете потренувати:

• перетворення між словесним найменуванням і числовим записом –⁠⁠⁠⁠⁠ десяткові числа словесно,
• порівняння додатних та від’ємних чисел з десятковою частиною –⁠⁠⁠⁠⁠ порівняння десяткових чисел,
• округлення чисел до різної кількості десяткових знаків –⁠⁠⁠⁠⁠ округлення десяткових чисел,
• розміщення десяткових чисел на числовій осі,
• використання спеціальних правил для додавання та віднімання, множення, ділення та комбінації цих операцій з десятковими числами, а також їх ступені та корені,
• зв’язок між десятковими числами та дробами –⁠⁠⁠⁠⁠ перетворення між цими двома способами математичного запису нецілих чисел,
• розв’язання рівнянь, в яких використовуються десяткові числа.

Десяткові числа можна читати багатьма різними способами. Перший – це пряме читання, коли замість “кома” ми кажемо “ціла”. Десяткову частину можна прочитати, як одне число або називати за цифрами:

Також можна читати десяткове число за десятими, сотими, тисячними:

Іноді десяткове число можна також назвати за відповідним дробом:

При порівнянні десяткових чисел ми шукаємо «найважливішу» частину, в якій вони відрізняються, і порівнюємо їх за цією частиною. Спочатку порівнюємо цілу частину. Якщо цілі частини однакові, порівнюємо десятини, потім сотні, тисячні й так далі. Також не забуваємо перевірити знак перед числом, який має такий самий вплив, як і в цілих числах. Наприклад:

• 15{,}3 < 17{,}9987 – вони відрізняються у цілій частині, тому десяткові місця можна ігнорувати для порівняння.

• 0{,}2 > 0{,}17 – ціла частина однакова, тому порівнюємо десяткові числа, де 2>1. У прикладах цього типу часто помилково вважають, що 17 > 2, що є неправильним. Для кращого уявлення можна доповнити нуль на початку: 0{,}20 > 0{,}17.

• 3{,}21 > -3{,}22 – тут не важливі десяткові місця, оскільки перше число додатне, а друге від’ємне.

• -4{,}2791 < -4{,}2758 – порівнюємо цифри у позиції тисячних (9 та 5), результат оцінювати «навпаки», оскільки числа від’ємні.

Округлення десяткових чисел працює подібно до округлення цілих чисел, але враховуємо і частину після десяткової коми. Для десяткових чисел це є особливо важливим, оскільки деякі числа в десятковій системі не можна точно записати, наприклад, \frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots, \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots, \pi = 3{,}14 159\ldots

Округлення до десятих означає, що число замінюється найближчим кратним числу 0,1 (тобто числом з однією цифрою після десяткової коми).

Округлення до сотих означає, що число замінюється найближчим кратним числу 0,01 (тобто числом з двома цифрами після десяткової коми). Як і при округленні цілих чисел, так і при округленні десяткових чисел числа, що закінчуються на цифру 5, округлюються вгору. Приклади:

• 3,628 округлюємо до десятих – це 3,6.
• 3,628 округлюємо до сотих – це 3,63.
• 12,25 округлюємо до десятих – це 12,3.
• 4,8975 округлюємо до цілого числа – це 5.
• 84,15 округлюємо до десятків – це 80 (звертайте увагу на формулювання: відрізняйте “до десятих” і “до десятків”).

Ці принципи округлення дозволяють проводити приблизні обчислення та зручніше передавати результати.

Подібно до інших числових осей, перший крок – визначити, яка відстань між позначками на числовій осі. При роботі з десятковими числами відстань часто становить 0,1 (одна десята), але це не обов’язково так.

Приклад:

При додаванні й відніманні десяткових чисел ми діємо так само, як і при звичайному додаванні та відніманні, але потребуємо мати числа “вирівняні” за допомогою десяткової коми. Як корисний інструмент (особливо при додаванні й відніманні у стовпчик) можна доповнити числа справа, щоб обидва числа мали однакову кількість цифр після коми. Наприклад:

• 1{,}2+2{,}3 = 3{,}5

• 3{,}457+4{,}2 = 3{,}457+4{,}200 = 7{,}657

• 1{,}3-0{,}8 = 0{,}5

• 0{,}001+0{,}01+0{,}1 = 0{,}001+0{,}010+0{,}100 = 0{,}111

• 2{,}01-0{,}1 = 2{,}01 - 0{,}10 = 1{,}91

Множення десяткових чисел можна виконати таким чином: 1) Обидва числа множимо так, наче у них взагалі немає десяткової коми. 2) У результаті ставимо десяткову кому так, щоб було стільки ж десяткових знаків, скільки мають обидва множники разом. Цей метод відповідає множенню з подальшим діленням на відповідне число, кратне десяти. Приклади:

• 5 \cdot 0{,}4: множимо 5\cdot 4 = 20, результат зміщуємо на 0+1=1 знак після коми, отримуємо 2{,}0.

• 2{,}5 \cdot 0{,}05: множимо 25\cdot 5=125, результат зміщуємо на 1+2=3 знаки після коми, отримуємо 0,125.

• 0{,}9 \cdot 0{,}8: множимо 9\cdot 8=72, результат зміщуємо на 1+1=2 знаки після коми, отримуємо 0,72.

Результат варто перевірити за допомогою швидкого оцінювання округлених чисел. Наприклад, при множенні 0{,}9 \cdot 0{,}8 обидва множники «трохи менші за 1», тож і результат має бути «трохи меншим за 1 \cdot 1», а при множенні 4{,}92 \cdot 3{,}06 можна легко оцінити, що результат має бути приблизно 5 \cdot 3 = 15.

При діленні десяткових чисел можна легко позбутися десяткової частини, помноживши як ділене, так і дільник на достатньо велике число, кратне десяти. Після цього числа діляться так само, як натуральні числа.

Приклади:

• 8:0{,}2 = 80:2 = 40
• 1:0{,}05 = 100:5 = 20
• 2{,}5:2 = 25:20 = 1{,}25

Перетворення десяткового числа на звичайний дріб

Десяткове число множимо на число, кратне десяти так, щоб «позбутися» десяткової коми. Потім скорочуємо дріб (найбільшим спільним дільником), щоб отримати дріб у найпростішому вигляді. Приклади:

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Розрахунки можуть бути простішими, якщо запам’ятати деякі корисні перетворення, за допомогою яких можна вирішити й інші приклади:

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Перетворення звичайного дробу на десяткове число

Значення дробу – це просто частка чисельника і знаменника. Тому дріб можна виразити як десяткове число, просто поділивши чисельник на знаменник (може бути корисним використовувати метод «ділення стовпчиком»). Приклади:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15