Арифметика

Числова вісь зображає числа. Числа на ній позначені мітками. Зазвичай підписані лише деякі мітки, інакше підписи перекривалися б і це було б незрозуміло. Решту чисел ми дораховуємо. Числову вісь можна уявити як прогулянку. Ми починаємо з початку, тобто з нуля, і кожен крок веде до нової мітки з новим числом.

Простий приклад числової осі, на якій ми шукаємо число 7:

Римські цифри – це спосіб запису чисел за допомогою літер латинського алфавіту. На відміну від звичайного запису чисел (арабські числа, десяткова система), римські числа є непозиційною числовою системою. Римські числа не підходять для математичних обчислень. Наприклад, множення в цьому записі є значно складнішим, ніж у десятковій системі. Проте римські числа все ще використовуються, наприклад, для позначення років на пам’ятниках, на годинниках, для нумерації розділів у книгах тощо.

Основні римські цифри: I, V, X, L, C, D, M. Їх значення такі:

Інші числа створюються шляхом поєднання та повторення символів. Символи розташовуються один після одного у порядку зростання величини. Для скорочення запису використовується віднімання, коли менший символ передує більшому. Наприклад:

Округлення означає, що ми беремо число і замінюємо його на інше число, яке має приблизно таку саму величину, але є “простішим”. Наприклад, число 96 ми можемо округлити до числа 100. Округлення дозволяє нам проводити приблизні обчислення або зручніше комунікувати.

Округлення до десятків означає, що ми замінюємо число найближчим кратним десяткам. Наприклад, для числа 37 найближчим кратним десятком є число 40. Для чисел, які закінчуються цифрою 5, заокруглення не є однозначним. Наприклад, число 35 має однакову “відстань” від чисел 30 і 40. Для таких випадків встановлено правило, за яким округлюємо вверх, тобто число 35 округлюється до 40. Округлення до сотень працює так само, але ми замінюємо число найближчим кратним сотням.

При додаванні у стовпчик ми діємо таким чином:

• Числа записуємо одне під одним, вирівняні праворуч.
• Починаємо додавання з правого кінця.
• Кожні два числа під собою додаємо разом, а результат записуємо під ними.
• Якщо результат більший за 10, записуємо лише цифру одиниць. Десятки переносяться далі вліво – додаються до наступного стовпця.

При письмовому відніманні ми діємо таким чином:

• Числа записуються одне під одним, вирівняні по правому краю.
• Починаємо з правого боку.
• Завжди віднімаємо два числа одне під одним, і результат записуємо під ними.
• Якщо верхнє число менше за нижнє, ми «позичаємо» десяток і віднімаємо на одиницю більше в наступному стовпчику.

Множення показує нам, скільки квадратиків має шоколадка, якщо ми знаємо, скільки в ній рядків і стовпців:

Множення ми дуже часто використовуємо у математиці та у повсякденному житті. Тому дуже корисно вивчити основні множники напам’ять. Мала таблиця множення охоплює всі добутки чисел від 1 до 10. Її можна наочно представити таким чином:

Якщо у мене є 8 яблук і я хочу розділити їх рівномірно на 4 кошики, скільки яблук буде в кожному кошику? Цьому питанню у математиці відповідає ділення:

Ділення з остачею – це обчислювальна операція, пов’язана з цілочисельним діленням. Якщо ділимо a:b, тоді можна записати a = k\cdot b + z, причому 0 \leq z < b. Число k називається часткою, число z – остачею.

Приклад: 11:4 дає частку 2 a і остачу 3, тому що 11 = 2\cdot 4 + 3. Якщо у мене є 11 яблук і я розділю їх рівномірно на 4 кошики, в кожному кошику буде 2 яблука і ще 3 залишаться.

Інші приклади:

• 17:5 дає остачу 2, тому що 17 = 3\cdot 5 + 2.
• 21:6 дає остачу 3, тому що 21 = 3\cdot 6 + 3.
• 12:7 дає остачу 5, тому що 12 = 1\cdot 7 + 5.
• 4:6 дає остачу 4, тому що 4 = 0\cdot 6 + 4.

При письмовому множенні у стовпчик виконуємо такі кроки:

• Записуємо числа одне під одним, вирівнюючи їх по правому краю.
• Послідовно множимо все верхнє число на кожну цифру нижнього числа.
• Результати часткових множень записуємо у рядки під ними. Результати зсуваємо відповідно до позиції цифри, якою множили.
• Нарешті, усі часткові результати додаємо (див. додавання у стовпчик).

Рисунок показує приклад множення чисел 79 і 68.

Тут представлено цікаві задачі, на яких ви можете в цікавій формі попрактикуватись в операціях множення та ділення, а також потренувати свою здатність логічно мислити і планувати правильний порядок дій.

Вирази оцінюються в такому порядку:

1. дужки,
2. множення та ділення,
3. додавання та віднімання.

Якщо вираз містить операції на одному рівні, вони виконуються зліва направо. Якщо вираз містить дужки на кількох рівнях, завжди обчислюйте від внутрішніх до зовнішніх дужок.

Під цією темою ви знайдете цікаві завдання та ігри для тренувань основних арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення і ділення). Вирішення цих завдань також покращить вашу здатність до логічного мислення і планування правильного підходу до розвʼязання задач.

Числова вісь — це пряма, яка зображує числа. Мітками на ній позначено вибрані числа — зазвичай цілі числа. Зазвичай підписані лише деякі мітки, інакше підписи перекривалися б і це було б незрозуміло. Решту чисел ми дораховуємо.

Традиційно на числовій осі менші числа пишуться зліва, більші — справа. Отже, від’ємні числа знаходяться ліворуч від нуля. Приклад числової осі з позначеними значеннями 7 та -7:

При обчисленні з використанням від’ємних чисел часто використовується принцип “мінус на мінус дає плюс”. Ось конкретні приклади:

Подільність займається визначенням того, чи є одне число дільним іншим без залишку. Наприклад, число 24 ділиться на число 6, але не ділиться на число 7.

Парність і непарність відповідає дільності числа на 2, це найпростіший випадок дільності.

Умови подільності допомагають визначити, чи ділиться одне число іншим числом без необхідності виконувати саме ділення. Наприклад, число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3. Тому, щоб зрозуміти, що число 513 ділиться на число 3, достатньо зауважити, що сума його цифр (5 + 1 + 3 = 9) ділиться на 3, і немає потреби виконувати ділення 513:3.

Прості числа – це числа більше за 1, які мають лише два дільники: одиницю і самих себе. Прості числа – це основні складові інших чисел у розумінні їх подільності.

Найбільший спільний дільник – це найбільше число, яким можна поділити два або більше чисел без залишку. Спільний дільник відіграє ключову роль при спрощенні дробів і розв’язуванні рівнянь.

Найменший спільне кратне – це найменше число, яке є кратним двох або більше чисел. Спільне кратне часто використовується при виконанні операцій з дробами.

Подільність є основою багатьох концепцій у математиці і має широке застосування. Наприклад, у сучасній криптографії (шифруванні).

Парні числа – це цілі числа, які діляться на два без остачі. Парні числа закінчуються цифрами 0, 2, 4, 6 або 8. Приклади парних чисел: 138, 12, 0, 9356, -34, 6.

Непарні числа – це цілі числа, які при діленні на два дають остачу один. Непарні числа закінчуються цифрами 1, 3, 5, 7 або 9. Приклади непарних чисел: 15, 891, -7, 1, 95.

Число a є кратним ненульовому цілому числу b тоді і тільки тоді, коли a є цілим кратним b, тобто a = k\cdot b. Іншими словами: число a дає при діленні на b остачу 0. Приклади:

• Число 15 є кратним числу 5, тому що 15 = 3\cdot 5.
• Число 25 не є кратним числу 4, тому що 25 = 6\cdot 4 + 1 (остача не є нульовою).

Для деяких дільників ми можемо досить легко визначити кратність:

Просте число – це природне число більше 1, яке ділиться лише на 1 і на себе.

Складене число – це природне число більше 1, яке не є простим числом, тобто має інші дільники окрім 1 і себе.

Приклади:

• 6 є складеним числом, оскільки його можна поділити на 2.
• 7 є простим числом, оскільки його можна поділити лише на 1 і на 7.
• 13 є простим числом, оскільки його можна поділити лише на 1 і на 13.
• 15 є складеним числом, оскільки його можна поділити на 3.

Згідно з визначенням число 1 не є ні простим, ні складеним числом. Це загальноприйнята математична конвенція, яка спрощує формулювання різних математичних теорем. Проте існують історичні підходи до розуміння простих чисел, які включають число 1.

Простих чисел є необмежено багато. Прості числа менше ніж 100 такі: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Кожне число можна розкласти на прості, наприклад:

• 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3
• 30 = 2 \cdot 3\cdot 5
• 1638 = 2 \cdot 3^2\cdot 7\cdot 13

Найбільший спільний дільник (НСД) двох цілих чисел — це найбільше число, яке ділить обидва числа без залишку. Приклади: НСД(18, 24) = 6, НСД(12, 21) = 3, НСД(24, 35) = 1. Поняття найбільшого спільного дільника можна узагальнити на більшу кількість вхідних чисел. Наприклад, НСД(30, 85, 90) = 5. Типовим застосуванням найбільшого спільного дільника є скорочення дробів.

• Якщо найбільший спільний дільник двох чисел дорівнює 1, то їх називають взаємно простими. Наприклад, числа 15 і 32 є взаємно простими.
• Якщо найбільший спільний дільник більше ніж 1, то це спільні числа. Наприклад, числа 20 і 24 мають найбільший спільний дільник 4, тобто вони спільні.

Для малих чисел можна визначити найбільший спільний дільник, просто виписавши всі дільники.

Для більших чисел можна визначити найбільший спільний дільник за допомогою розкладу на прості множники. Обидва числа розкладаємо на множники простих чисел, результатом НСД буде добуток простих чисел, що зустрічаються в обох розкладах, піднесених до відповідних найменших показників.

Для практичних обчислень використовують інші алгоритми, зокрема алгоритм Евкліда.

Найменше спільне кратне (НСК) двох цілих чисел – це найменше число, яке без залишку ділиться на обидва числа. Приклади: НСК(12, 15) = 60, НСК(6, 8) = 24, НСК(3, 15) = 15. Поняття найменшого спільного кратного можна узагальнити і на більшу кількість вхідних чисел. Наприклад, НСК(2, 3, 4) = 12. Типове використання найменшого спільного кратного: при перетворенні дробів до спільного знаменника при додаванні дробів.

Для малих чисел ми можемо знайти найменше спільне кратне, виписавши кілька перших кратних від обох чисел.

Для більших чисел ми можемо знайти найменше спільне кратне за допомогою розкладу на прості множники. НСК дорівнює добутку всіх простих чисел, які зустрічаються принаймні в одному розкладі (у найвищій степені, в якій вони зустрічаються).

Найменше спільне кратне можна також обчислити за допомогою найбільшого спільного дільника (НСД): \mathit{НСК}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\mathit{НСД}(a, b)}

Степінь – це добуток однакових множників. Приклади:

• 3^2 = 3\cdot 3 = 9
• 2^3 = 2\cdot 2 \cdot 2= 8
• 5^4 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625

Під час піднесення до степеня від’ємних чисел результат є додатним для парних степенів і від’ємним для непарних.

• (-3)^2 = (-3)\cdot (-3) = 9
• (-3)^3 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = -27
• (-3)^4 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = 81

Нульовий степінь будь-якого числа дорівнює 1 (наприклад, 5^0=1, 564^0=1). Нуль, піднесений до будь-якого степеня, дорівнює 0 (наприклад, 0^3 = 0\cdot 0\cdot 0 = 0). Це веде до цікавого питання: чому дорівнює 0^0?

Степінь з від’ємним показником відповідає оберненому значенню відповідного степеня з додатним показником. Тобто, x^{-n} = \frac{1}{x^n}. Це правило є наслідком властивості множення x^n\cdot x^m = x^{n+m}. Таким чином, має виконуватись x^{-n} \cdot x^n = x^{-n+n} = x^0 = 1.

Приклади:

• 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5
• 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25
• 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = 0,01
• 0,5^{-1} = 2^1 = 2

Визначення та використання логарифма

Логарифм є оберненою операцією до піднесення до степеня. Логарифм додатного числа x з основою a — це таке дійсне число y = \log_a(x), для якого виконується a^y = x. Число a називається основою логарифма.

Логарифм з основою e=2{,}71 828 182... (число Ейлера) називається натуральним логарифмом і позначається зазвичай \ln.

Логарифм з основою 10 називається десятковим логарифмом (іноді позначається \mathit{lg}).

Логарифми мають дуже широке застосування у багатьох галузях математики. Історично вони використовувалися як корисний обчислювальний інструмент («логарифмічна лінійка»). Сьогодні логарифми часто зустрічаються, наприклад, в інформатиці при розробці та аналізі алгоритмів.

Властивості логарифмів

• Логарифм визначений лише для додатних чисел.
• Логарифм з основою 1 — не визначений.
• Логарифм одиниці дорівнює нулю: \log_a(1)=0.
• Логарифм з однаковою основою та аргументом дорівнює 1: \log_a{a}=1.
• Логарифм добутку є сумою логарифмів: \log_a(x\cdot y)=\log_a{x}+\log_a{y}.
• Логарифм частки є різницею логарифмів: \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a{x}-\log_a{y}.
• Логарифм є оберненою функцією до експоненціальної функції з тією самою основою: \log_a{x}=y \Leftrightarrow a^y=x.
• Логарифм степеня є добутком показника степеня і логарифма основи степеня: \log_a(x^n)=n\log_a{x}.

Графік логарифма

Графік показує логарифм з основою 2:

Логарифм додатного числа x з основою – це таке дійсне число y = \log_a(x), для якого виконується a^y = x. Приклади:

Деякі основні властивості логарифмів, виражені за допомогою формул:

• \log_a(a)=1
• \log_a(1)=0
• \log_a(x\cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) (логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів)
• \log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y) (логарифм частки дорівнює різниці логарифмів)
• \log_a(x^k)=k\log_a(x)
• \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}

Числова вісь – це пряма, що зображує числа. На ній позначено вибрані числа – зазвичай цілі числа. Зазначаються лише деякі, інакше написи перекривалися б і це було б нечитабельним. Інші числа можна розрахувати.

На основній числовій осі позначки мають відстань в одну одиницю. Однак це далеко не завжди так. Коли ми працюємо з числовою віссю, спочатку потрібно з’ясувати, яка відстань між позначками. Це визначається на основі написів. У наступному прикладі відстань між позначками становить 10: