Послідовності та числові ряди

Арифметична послідовність – це математична послідовність, в якій між кожними двома послідовними членами є постійна різниця. Ця різниця зазвичай позначається як d і називається диференцією.

• Рекурентне співвідношення: a_n = a_{n-1} + d
• Формула для n-го члена: a_n = a_1+ (n-1)\cdot d
• Приклади:
  • 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... (a_1=1, d=2)
  • 20, 17, 14, 11, 8, ... (a_1=20, d=-3)
  • 300, 305, 310, 315, 320, ... (a_1=300, d=5)

Геометрична послідовність – це математична послідовність, в якій між кожними двома послідовними членами є постійне відношення. Це відношення зазвичай позначається як q.

• Рекурентне співвідношення: a_n = q \cdot a_{n-1}
• Формула для n-го члена: a_n = q^{n-1}\cdot a_1
• Приклади:
  • 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (a_1=1, q=2)
  • 1000, 100, 10, 1, 0{,}1, 0{,}01, ... (a_1=1000, q=0,1)
  • 5, 15, 45, 135, 405, ... (a_1=5, q=3)
  • 8, -8, 8, -8, 8, -8, ... (a_1=8, q=-1)

Послідовність — це набір об’єктів, у яких важливий порядок і які можуть повторюватися. Послідовність може бути як скінченною, так і нескінченною. Члени послідовності зазвичай записують за допомогою індексів: a_n позначає n-й член послідовності a.

Послідовності можна записувати різними способами:

• переліком членів: a = (7, 10, 13, 16, 19, 22)
• формулою для n-го члена: a_n = 4 + 3\cdot n
• рекурентно (початок послідовності та спосіб обчислення наступних членів із попередніх): a_1 = 7, a_n = a_{n-1} + 3

Приклади:

• 8, 18, 28, 38, 48, 58… (арифметична послідовність із початковим значенням 8 та різницею 10)
• 3, 6, 12, 24, 48, 96… (геометрична послідовність із початковим значенням 3 та коефіцієнтом 2)
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… (послідовність Фібоначчі, a_n = a_{n-1} + a_{n-2})
• 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2… (періодична послідовність)

Існує безліч цікавих послідовностей. Вони навіть мають власну енциклопедію.