Подільність

Подільність займається визначенням того, чи є одне число дільним іншим без залишку. Наприклад, число 24 ділиться на число 6, але не ділиться на число 7.

Парність і непарність відповідає дільності числа на 2, це найпростіший випадок дільності.

Умови подільності допомагають визначити, чи ділиться одне число іншим числом без необхідності виконувати саме ділення. Наприклад, число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3. Тому, щоб зрозуміти, що число 513 ділиться на число 3, достатньо зауважити, що сума його цифр (5 + 1 + 3 = 9) ділиться на 3, і немає потреби виконувати ділення 513:3.

Прості числа – це числа більше за 1, які мають лише два дільники: одиницю і самих себе. Прості числа – це основні складові інших чисел у розумінні їх подільності.

Найбільший спільний дільник – це найбільше число, яким можна поділити два або більше чисел без залишку. Спільний дільник відіграє ключову роль при спрощенні дробів і розв’язуванні рівнянь.

Найменший спільне кратне – це найменше число, яке є кратним двох або більше чисел. Спільне кратне часто використовується при виконанні операцій з дробами.

Подільність є основою багатьох концепцій у математиці і має широке застосування. Наприклад, у сучасній криптографії (шифруванні).

Парні числа – це цілі числа, які діляться на два без остачі. Парні числа закінчуються цифрами 0, 2, 4, 6 або 8. Приклади парних чисел: 138, 12, 0, 9356, -34, 6.

Непарні числа – це цілі числа, які при діленні на два дають остачу один. Непарні числа закінчуються цифрами 1, 3, 5, 7 або 9. Приклади непарних чисел: 15, 891, -7, 1, 95.

Число a є кратним ненульовому цілому числу b тоді і тільки тоді, коли a є цілим кратним b, тобто a = k\cdot b. Іншими словами: число a дає при діленні на b остачу 0. Приклади:

• Число 15 є кратним числу 5, тому що 15 = 3\cdot 5.
• Число 25 не є кратним числу 4, тому що 25 = 6\cdot 4 + 1 (остача не є нульовою).

Для деяких дільників ми можемо досить легко визначити кратність:

Просте число – це природне число більше 1, яке ділиться лише на 1 і на себе.

Складене число – це природне число більше 1, яке не є простим числом, тобто має інші дільники окрім 1 і себе.

Приклади:

• 6 є складеним числом, оскільки його можна поділити на 2.
• 7 є простим числом, оскільки його можна поділити лише на 1 і на 7.
• 13 є простим числом, оскільки його можна поділити лише на 1 і на 13.
• 15 є складеним числом, оскільки його можна поділити на 3.

Згідно з визначенням число 1 не є ні простим, ні складеним числом. Це загальноприйнята математична конвенція, яка спрощує формулювання різних математичних теорем. Проте існують історичні підходи до розуміння простих чисел, які включають число 1.

Простих чисел є необмежено багато. Прості числа менше ніж 100 такі: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Кожне число можна розкласти на прості, наприклад:

• 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3
• 30 = 2 \cdot 3\cdot 5
• 1638 = 2 \cdot 3^2\cdot 7\cdot 13

Найбільший спільний дільник (НСД) двох цілих чисел — це найбільше число, яке ділить обидва числа без залишку. Приклади: НСД(18, 24) = 6, НСД(12, 21) = 3, НСД(24, 35) = 1. Поняття найбільшого спільного дільника можна узагальнити на більшу кількість вхідних чисел. Наприклад, НСД(30, 85, 90) = 5. Типовим застосуванням найбільшого спільного дільника є скорочення дробів.

• Якщо найбільший спільний дільник двох чисел дорівнює 1, то їх називають взаємно простими. Наприклад, числа 15 і 32 є взаємно простими.
• Якщо найбільший спільний дільник більше ніж 1, то це спільні числа. Наприклад, числа 20 і 24 мають найбільший спільний дільник 4, тобто вони спільні.

Для малих чисел можна визначити найбільший спільний дільник, просто виписавши всі дільники.

Для більших чисел можна визначити найбільший спільний дільник за допомогою розкладу на прості множники. Обидва числа розкладаємо на множники простих чисел, результатом НСД буде добуток простих чисел, що зустрічаються в обох розкладах, піднесених до відповідних найменших показників.

Для практичних обчислень використовують інші алгоритми, зокрема алгоритм Евкліда.

Найменше спільне кратне (НСК) двох цілих чисел – це найменше число, яке без залишку ділиться на обидва числа. Приклади: НСК(12, 15) = 60, НСК(6, 8) = 24, НСК(3, 15) = 15. Поняття найменшого спільного кратного можна узагальнити і на більшу кількість вхідних чисел. Наприклад, НСК(2, 3, 4) = 12. Типове використання найменшого спільного кратного: при перетворенні дробів до спільного знаменника при додаванні дробів.

Для малих чисел ми можемо знайти найменше спільне кратне, виписавши кілька перших кратних від обох чисел.

Для більших чисел ми можемо знайти найменше спільне кратне за допомогою розкладу на прості множники. НСК дорівнює добутку всіх простих чисел, які зустрічаються принаймні в одному розкладі (у найвищій степені, в якій вони зустрічаються).

Найменше спільне кратне можна також обчислити за допомогою найбільшого спільного дільника (НСД): \mathit{НСК}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\mathit{НСД}(a, b)}