Логарифм
Визначення та використання логарифма
Логарифм є оберненою операцією до піднесення до степеня. Логарифм додатного числа x з основою a — це таке дійсне число y = \log_a(x), для якого виконується a^y = x. Число a називається основою логарифма.
Логарифм з основою e=2{,}71 828 182... (число Ейлера) називається натуральним логарифмом і позначається зазвичай \ln.
Логарифм з основою 10 називається десятковим логарифмом (іноді позначається \mathit{lg}).
Логарифми мають дуже широке застосування у багатьох галузях математики. Історично вони використовувалися як корисний обчислювальний інструмент («логарифмічна лінійка»). Сьогодні логарифми часто зустрічаються, наприклад, в інформатиці при розробці та аналізі алгоритмів.
Властивості логарифмів
- Логарифм визначений лише для додатних чисел.
- Логарифм з основою 1 — не визначений.
- Логарифм одиниці дорівнює нулю: \log_a(1)=0.
- Логарифм з однаковою основою та аргументом дорівнює 1: \log_a{a}=1.
- Логарифм добутку є сумою логарифмів: \log_a(x\cdot y)=\log_a{x}+\log_a{y}.
- Логарифм частки є різницею логарифмів: \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a{x}-\log_a{y}.
- Логарифм є оберненою функцією до експоненціальної функції з тією самою основою: \log_a{x}=y \Leftrightarrow a^y=x.
- Логарифм степеня є добутком показника степеня і логарифма основи степеня: \log_a(x^n)=n\log_a{x}.
Графік логарифма
Графік показує логарифм з основою 2:
Обчислення логарифмів
Логарифм додатного числа x з основою – це таке дійсне число y = \log_a(x), для якого виконується a^y = x. Приклади:
| \log_{10}(100) = 2 | , тому що 10^2 = 100 |
| \log_2(32) = 5 | , тому що 2^5 = 32 |
| \log_5(125) = 3 | , тому що 5^3 = 125 |
| \log_7(1) = 0 | , тому що 7^0 = 1 |
| \log_2(0{,}5) = -1 | , тому що 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5 |
Вирази з логарифмами
Деякі основні властивості логарифмів, виражені за допомогою формул:
- \log_a(a)=1
- \log_a(1)=0
- \log_a(x\cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) (логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів)
- \log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y) (логарифм частки дорівнює різниці логарифмів)
- \log_a(x^k)=k\log_a(x)
- \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}
